Sendo y=5 x-6x^2+1, temos d yd x igual a Escolha uma opção:
l 5 x^2+12 x-5(x^2+1)^2 52 x -5x^2 -5 x^2+12 x+5(x^2+1)^2 5x^2
Limpar minha escolha

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada de quociente, que é parte do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a derivada de um quociente. Se você tiver uma função que é o quociente de duas funções, digamos ddx(uv) = v cdot dudx - u cdot dvdxv^2 , a derivada dessa função é dada por:
Isso significa que a gente vai derivar o numerador e o denominador separadamente e aplicar essa fórmula.

Passo 3

Vamos identificar u = 5x - 6 v = x^2 + 1 e dudx = 5 dvdx = 2x na nossa função:
Agora, vamos derivar e em relação a :

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da derivada do quociente:
dydx = v cdot dudx - u cdot dvdxv^2
Substituindo dydx = (x^2 + 1) cdot 5 - (5x - 6) cdot 2x(x^2 + 1)^2 , , e :

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
(x^2 + 1) cdot 5 = 5x^2 + 5 (5x - 6) cdot 2x = 10x^2 - 12x
Agora, substituindo de volta:
dydx = 5x^2 + 5 - (10x^2 - 12x)(x^2 + 1)^2 = 5x^2 + 5 -10x^2 +12x(x^2 + 1)^2

Passo 6

Vamos combinar os termos semelhantes no numerador:
5x^2 -10x^2 = -5x^2 12x permanece 12x 5 permanece 5
Então:
dydx = -5x^2 + 12x + 5(x^2 + 1)^2

Resposta

A derivada é igual a .

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