A integral de linha de um campo escalar sobre um caminho em relação ao comprimento de arco é definida por:
Calcule a integral de linha em relação ao comprimento de arco s, onde é o caminho formado pelo arco da parábola de a , seguido de um segmento de reta de a .

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver uma integral de linha onde temos um campo escalar e um caminho que é composto por duas partes: primeiro, o arco da parábola de a e depois um segmento de reta de a . Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de integral de linha em relação ao comprimento de arco e parametrizar cada trecho do caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o arco da parábola . Vamos usar como parâmetro, onde varia de 0 a 1. Assim, podemos escrever:
A derivada dessa parametrização é:
A norma dessa derivada, que representa o comprimento do arco, é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de linha sobre . A integral fica:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Deixe , então ou . A integral fica:
Integrando, temos:

Passo 4

Agora, vamos parametrizar o segmento de reta de a . Podemos usar variando de 1 a 2:
A derivada dessa parametrização é:
A norma dessa derivada é:

Passo 5

Vamos calcular a integral de linha sobre :
Integrando, temos:

Resposta

Somando as duas integrais, a integral de linha total é:

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. Determine .
Uma espaçonave está em apuros perto do lado ensolarado de Mercúrio. A temperatura em graus Celsius do casco da nave quando ela está na localização será dada por
onde , y e são medido em metros. Ele está atualmente em .
c) Infelizmente, o metal do o casco se quebrará se arrefecido a uma taxa maior que graus por segundo. Descreva o conjunto de possíveis direções em que ele pode ir para diminuir a temperatura abaixo de essa taxa.
Determine a área da parte do plano no primeiro octante.
Determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície da região envolvida pelo cilindro circular e os planos e .