A integral de linha de um campo escalar sobre um caminho em relação ao comprimento de arco é definida por:
Calcule a integral de linha em relação ao comprimento de arco s, onde é o caminho formado pelo arco da parábola de a , seguido de um segmento de reta de a .
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver uma integral de linha onde temos um campo escalar e um caminho que é composto por duas partes: primeiro, o arco da parábola de a e depois um segmento de reta de a . Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de integral de linha em relação ao comprimento de arco e parametrizar cada trecho do caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o arco da parábola . Vamos usar como parâmetro, onde varia de 0 a 1. Assim, podemos escrever:
A derivada dessa parametrização é:
A norma dessa derivada, que representa o comprimento do arco, é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de linha sobre . A integral fica:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Deixe , então ou . A integral fica:
Integrando, temos:
Passo 4
Agora, vamos parametrizar o segmento de reta de a . Podemos usar variando de 1 a 2:
A derivada dessa parametrização é:
A norma dessa derivada é:
Passo 5
Vamos calcular a integral de linha sobre :
Integrando, temos:
Resposta
Somando as duas integrais, a integral de linha total é: