A integral de linha de um campo escalar sobre um caminho em relação ao comprimento de arco é definida por:
Calcule a integral de linha em relação ao comprimento de arco integralgamma 2 x d s, onde gamma é o caminho formado pelo arco C1 da parábola y=x^2 de (0,0) a (1,1), seguido de um segmento de reta C2 de (1,1) a (2,2).
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver uma integral de linha onde temos um campo escalar e um caminho que é composto por duas partes: primeiro, o arco da parábola de a e depois um segmento de reta de a . Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de integral de linha em relação ao comprimento de arco e parametrizar cada trecho do caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o arco da parábola gamma1(t) = (t, t^2) . Vamos usar gamma1'(t) = (1, 2t) como parâmetro, onde |gamma1'(t)| = raiz1 + (2t)^2 = raiz1 + 4t^2 varia de 0 a 1. Assim, podemos escrever:
A derivada dessa parametrização é:
A norma dessa derivada, que representa o comprimento do arco, é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de linha sobre integralC1 2x , ds = integral0^1 2t cdot raiz1 + 4t^2 , dt . A integral fica:
integral1^5 28 raizu , du = 14 integral1^5 u^1/2 , du
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Deixe 14 cdot [ 23 u^3/2 ]1^5 = 16 (5raiz5 - 1) , então ou . A integral fica:
Integrando, temos:
Passo 4
Agora, vamos parametrizar o segmento de reta gamma2(t) = (t, t) de gamma2'(t) = (1, 1) a |gamma2'(t)| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 . Podemos usar variando de 1 a 2:
A derivada dessa parametrização é:
A norma dessa derivada é:
Passo 5
Vamos calcular a integral de linha sobre integralC2 2x , ds = integral1^2 2t cdot raiz2 , dt = 2raiz2 integral1^2 t , dt :