Determine a área da parte da superfície
que está dentro da superfície
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área de uma parte da superfície definida por
que está dentro da superfície
.
Basicamente, temos duas superfícies:
- A superfície
, que é um cone. - A superfície
, que é um cilindro com centro no ponto (4,2) e raio 1.
Vamos precisar usar cálculo de múltiplas integrais e mudar para coordenadas que facilitam o cálculo, como coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície
. Podemos simplificar:
Isso mostra que a superfície é um cone com abertura simétrica em torno do eixo z.
Passo 3
Agora, vamos entender a superfície
. A equação
representa um cilindro vertical, pois não há termo envolvendo z. Esse cilindro tem centro no ponto (4,2) e raio 1.
Passo 4
Nosso objetivo é achar a área da parte do cone que está dentro desse cilindro. Para isso, vamos parametrizar a superfície do cone e definir os limites de integração baseados no cilindro.
Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares para simplificar as contas. Em coordenadas polares:
Então, a equação do cone fica:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a região de integração, ou seja, os valores de
e
onde o ponto
está dentro do cilindro
.
Substituindo as coordenadas polares:
Isso nos dá a equação que define os limites de
e
.
Passo 6
Para resolver a equação acima, vamos expandir e simplificar:
Isso é uma equação quadrática em
.
Passo 7
Vamos resolver essa equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Para que a raiz seja real, o discriminante deve ser não negativo. Determinar exatamente os limites de
e
pode ser complexo, então vamos utilizar uma abordagem geométrica.
Passo 8
Observando a situação, sabemos que a interseção entre o cone e o cilindro ocorrerá ao redor do cilindro. A área que buscamos será um anel na superfície do cone limitado pelo cilindro.
A área de uma superfície parametrizada em coordenadas polares
é dada por:
Para o nosso cone
:
Então,
Passo 9
Agora, precisamos determinar a região
de integração. Essa região é a projeção do cilindro no plano xy. Como o cilindro está centrado em (4,2) e tem raio 1, a região
é um círculo de raio 1 com centro em (4,2).
Em coordenadas polares, isso pode ser complicado, então vamos realizar uma mudança de coordenadas deslocando a origem para (4,2):
A projeção do cilindro no plano xy é então
, ou seja,
, onde
é o raio na nova coordenada.
Passo 10
Com essa mudança, a área
fica:
No entanto, devido à simetria, podemos integrar diretamente em coordenadas polares originais, sabendo que a região
é equivalente a
.
Assim, a integral para a área será:
Resposta
A área da parte da superfície
que está dentro da superfície
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Seja
a parte da esfera
que está dentro de
. Determine uma parametrização para a superfície
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro de
. Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Determine a equação geral e uma paramatrização do plano tangente à
no ponto
.
Determine a área da parte da superfície
que está dentro do cilindro
.