Determine a área da parte da superfície que está dentro da superfície

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área de uma parte da superfície definida por que está dentro da superfície .
Basicamente, temos duas superfícies:
  1. A superfície , que é um cone.
  2. A superfície , que é um cilindro com centro no ponto (4,2) e raio 1.
Vamos precisar usar cálculo de múltiplas integrais e mudar para coordenadas que facilitam o cálculo, como coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície . Podemos simplificar:
Isso mostra que a superfície é um cone com abertura simétrica em torno do eixo z.

Passo 3

Agora, vamos entender a superfície . A equação representa um cilindro vertical, pois não há termo envolvendo z. Esse cilindro tem centro no ponto (4,2) e raio 1.

Passo 4

Nosso objetivo é achar a área da parte do cone que está dentro desse cilindro. Para isso, vamos parametrizar a superfície do cone e definir os limites de integração baseados no cilindro.
Primeiro, vamos mudar para coordenadas polares para simplificar as contas. Em coordenadas polares:
Então, a equação do cone fica:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a região de integração, ou seja, os valores de e onde o ponto está dentro do cilindro .
Substituindo as coordenadas polares:
Isso nos dá a equação que define os limites de e .

Passo 6

Para resolver a equação acima, vamos expandir e simplificar:
Isso é uma equação quadrática em .

Passo 7

Vamos resolver essa equação quadrática para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Para que a raiz seja real, o discriminante deve ser não negativo. Determinar exatamente os limites de e pode ser complexo, então vamos utilizar uma abordagem geométrica.

Passo 8

Observando a situação, sabemos que a interseção entre o cone e o cilindro ocorrerá ao redor do cilindro. A área que buscamos será um anel na superfície do cone limitado pelo cilindro.
A área de uma superfície parametrizada em coordenadas polares é dada por:
Para o nosso cone :
Então,

Passo 9

Agora, precisamos determinar a região de integração. Essa região é a projeção do cilindro no plano xy. Como o cilindro está centrado em (4,2) e tem raio 1, a região é um círculo de raio 1 com centro em (4,2).
Em coordenadas polares, isso pode ser complicado, então vamos realizar uma mudança de coordenadas deslocando a origem para (4,2):
A projeção do cilindro no plano xy é então , ou seja, , onde é o raio na nova coordenada.

Passo 10

Com essa mudança, a área fica:
No entanto, devido à simetria, podemos integrar diretamente em coordenadas polares originais, sabendo que a região é equivalente a .
Assim, a integral para a área será:
Á

Resposta

A área da parte da superfície que está dentro da superfície é unidades de área.

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Determine a área da parte da superfície que está dentro do cilindro .