Seja S a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 8 que está dentro de z = raiz(x^2 + y^2). Determine a equação do plano tangente à superfície S no ponto P = (0, 1, raiz(7)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a equação do plano tangente à parte da esfera que está dentro de , no ponto . Aqui, estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente com esferas e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais para encontrar a normal à esfera e, consequentemente, a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se o ponto está realmente na esfera . Substituindo as coordenadas de na equação da esfera:
Então, está na esfera. Também precisamos verificar se está dentro da região definida por . Calculando em :
Como , está acima dessa superfície, então está dentro da região definida.

Passo 3

Agora, para encontrar a equação do plano tangente à esfera no ponto , precisamos da normal à esfera nesse ponto. A normal à esfera em qualquer ponto é dada pelo vetor gradiente da função .
Calculando o gradiente:
No ponto , o gradiente é:
Esse vetor é a normal ao plano tangente.

Passo 4

Com a normal ao plano tangente e o ponto , podemos escrever a equação do plano usando a fórmula:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto .
Substituindo:
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais a equação do plano:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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