Seja
a parte da esfera
que está dentro de
. Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a equação do plano tangente à parte da esfera
que está dentro de
, no ponto
. Aqui, estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente com esferas e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais para encontrar a normal à esfera e, consequentemente, a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se o ponto
está realmente na esfera
. Substituindo as coordenadas de
na equação da esfera:
Então,
está na esfera. Também precisamos verificar se está dentro da região definida por
. Calculando
em
:
Como
,
está acima dessa superfície, então está dentro da região definida.
Passo 3
Agora, para encontrar a equação do plano tangente à esfera no ponto
, precisamos da normal à esfera nesse ponto. A normal à esfera em qualquer ponto
é dada pelo vetor gradiente da função
.
Calculando o gradiente:
No ponto
, o gradiente é:
Esse vetor
é a normal ao plano tangente.
Passo 4
Com a normal ao plano tangente e o ponto
, podemos escrever a equação do plano usando a fórmula:
Onde
são as componentes do vetor normal e
são as coordenadas do ponto
.
Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar ainda mais a equação do plano:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
sen
, em que
.
Determine uma parametrização para a superfície
, em que:
é a parte do paraboloide
que está abaixo do plano
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro de
. Determine uma parametrização para a superfície
.
Determine a área da parte da superfície
que está dentro da superfície