Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Determine a equação geral e uma paramatrização do plano tangente à no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação geral e uma parametrização do plano tangente à parte da esfera , que está dentro do cilindro e acima do plano , no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies e planos tangentes. Vamos precisar entender como calcular o plano tangente a uma esfera em um ponto específico e depois parametrizar esse plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma esfera centrada na origem é , onde é o raio. No nosso caso, , então o raio . O ponto dado está na esfera porque:
Isso confirma que o ponto está na esfera correta.
Passo 3
Para achar a equação do plano tangente a uma esfera em um ponto específico, usamos a seguinte fórmula:
Onde é o ponto de tangência e é o raio da esfera. Vamos aplicar isso com nosso ponto e .
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Simplificando, fica:
Essa é a equação geral do plano tangente à esfera no ponto dado.
Passo 5
Agora, vamos parametrizar esse plano. Para parametrizar um plano, precisamos de um ponto no plano e de dois vetores que são tangentes ao plano. Sabemos que o ponto é . Para encontrar os vetores tangentes, podemos usar as derivadas parciais ou identificar duas direções independentes no plano.
Passo 6
Vamos reescrever a equação do plano para expressar uma variável em função das outras duas. Por exemplo, podemos resolver para :
Agora, podemos escolher e como parâmetros, digamos e , então:
Passo 7
Assim, uma parametrização do plano é:
Onde e são parâmetros livres que podem variar em todos os valores reais.
Resposta
A equação geral do plano tangente à esfera no ponto é . Uma parametrização desse plano é: