Seja S a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 25 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 9 e acima do plano x y. Determine a equação geral e uma paramatrização do plano tangente à S no ponto (1, -2, raiz(20)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação geral e uma parametrização do plano tangente à parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 25, que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 9 e acima do plano xy, no ponto (1, -2, raiz(20)). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies e planos tangentes. Vamos precisar entender como calcular o plano tangente a uma esfera em um ponto específico e depois parametrizar esse plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma esfera centrada na origem é x^2 + y^2 + z^2 = r^2, onde r é o raio. No nosso caso, , então o raio . O ponto dado (1, -2, raiz(20)) está na esfera porque:
Isso confirma que o ponto está na esfera correta.

Passo 3

Para achar a equação do plano tangente a uma esfera em um ponto específico, usamos a seguinte fórmula:
Onde é o ponto de tangência e r é o raio da esfera. Vamos aplicar isso com nosso ponto (1, -2, raiz(20)) e .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula, temos:
Simplificando, fica:
Essa é a equação geral do plano tangente à esfera no ponto dado.

Passo 5

Agora, vamos parametrizar esse plano. Para parametrizar um plano, precisamos de um ponto no plano e de dois vetores que são tangentes ao plano. Sabemos que o ponto é (1, -2, raiz(20)). Para encontrar os vetores tangentes, podemos usar as derivadas parciais ou identificar duas direções independentes no plano.

Passo 6

Vamos reescrever a equação do plano para expressar uma variável em função das outras duas. Por exemplo, podemos resolver para z:
Agora, podemos escolher x e y como parâmetros, digamos u e v, então:

Passo 7

Assim, uma parametrização do plano é:
Onde u e v são parâmetros livres que podem variar em todos os valores reais.

Resposta

A equação geral do plano tangente à esfera no ponto (1, -2, raiz(20)) é . Uma parametrização desse plano é:
Onde u e v são parâmetros reais.

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