Determine a área da parte da superfície que está dentro do cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício pede para a gente encontrar a área da parte da superfície que está dentro do cilindro .
Conteúdo envolvido:
  • Cálculo de áreas de superfícies usando integrais.
  • Coordenadas cilíndricas para facilitar a integração.
  • Entender a relação entre a superfície e o cilindro para definir os limites da integração.
Vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar a expressão da área da superfície e depois integrar essa expressão sobre a região delimitada pelo cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da superfície . Podemos fatorar o 9 dentro da raiz:
Então, a superfície é .

Passo 3

Agora, para encontrar a área da superfície, usamos a fórmula da integral de superfície. Para uma superfície dada por , a área é:
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da área:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a expressão da área fica:
Isso significa que a área é vezes a área da região delimitada pelo cilindro.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a área da região que está dentro do cilindro . Essa é a equação de um círculo com centro em e raio 1.
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares deslocadas. No entanto, como o círculo est�� deslocado, fica mais simples calcular a área diretamente, sabendo que a área de um círculo é .

Passo 7

Como o cilindro é um círculo de raio 1, a área da região é:
Á

Passo 8

Finalmente, a área da superfície dentro do cilindro é:

Resposta

A área da parte da superfície é unidades de área.

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