Seja a parte da esfera que está dentro de . Determine uma parametrização para a superfície .
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma parametrização para a parte da esfera dada por que está dentro da superfície . Vamos usar coordenadas esféricas para resolver isso, pois elas facilitam a descrição de superfícies esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
Onde:
é a distância do ponto até a origem.
é o ângulo polar, medido a partir do eixo .
é o ângulo azimutal, medido no plano .
Passo 3
A esfera dada tem a equação . Em coordenadas esféricas, isso significa que:
Portanto, a parametrização da esfera completa seria:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites para e de forma que a parte da esfera esteja dentro de . Vamos substituir as equações de , e na equação :
Simplificando o lado direito:
Dividindo ambos os lados por :
Passo 5
Isso significa que a parte da esfera que está dentro de corresponde aos pontos onde o ângulo polar vai de 0 até . O ângulo azimutal varia de 0 a para cobrir todo o círculo.