Seja S a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 8 que está dentro de z = raiz(x^2 + y^2). Determine uma parametrização para a superfície S.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma parametrização para a parte da esfera dada por que está dentro da superfície . Vamos usar coordenadas esféricas para resolver isso, pois elas facilitam a descrição de superfícies esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
Onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo polar, medido a partir do eixo .
  • é o ângulo azimutal, medido no plano .

Passo 3

A esfera dada tem a equação . Em coordenadas esféricas, isso significa que:
Portanto, a parametrização da esfera completa seria:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites para e de forma que a parte da esfera esteja dentro de . Vamos substituir as equações de , e na equação :
Simplificando o lado direito:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Isso significa que a parte da esfera que está dentro de corresponde aos pontos onde o ângulo polar vai de 0 até . O ângulo azimutal varia de 0 a para cobrir todo o círculo.

Resposta

Uma parametrização para a superfície é:
onde e .

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