Seja S a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 4 e acima do plano x y. Determine a equação geral e uma paramatrização do plano tangente à S no ponto (1, -1, raiz(7)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma parte de uma esfera definida por que está dentro de um cilindro e acima do plano . Nosso objetivo é encontrar a equação geral e uma parametrização do plano tangente à essa parte da esfera no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre planos tangentes a superfícies e parametrizações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente a uma esfera em um ponto específico. O plano tangente toca a esfera em apenas um ponto e é perpendicular ao raio da esfera nesse ponto. A equação do plano tangente a uma esfera no ponto é dada por:
No nosso caso, a esfera tem raio (já que ) e o ponto de tangência é .

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula do plano tangente com os valores que temos:
Isso simplifica para:
Então, essa é a equação geral do plano tangente à esfera no ponto dado.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar esse plano. Para parametrizar um plano, precisamos expressar duas das variáveis em termos de parâmetros livres. Vamos escolher e como parâmetros.
Da equação do plano:
Podemos resolver para :
Então, a parametrização do plano é:
Onde e são parâmetros livres que podem assumir quaisquer valores reais.

Resposta

A equação geral do plano tangente é e uma parametrização do plano é .

Exercícios relacionados