Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Determine a equação geral e uma paramatrização do plano tangente à
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma parte de uma esfera definida por
que está dentro de um cilindro
e acima do plano
. Nosso objetivo é encontrar a equação geral e uma parametrização do plano tangente à essa parte da esfera no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre planos tangentes a superfícies e parametrizações de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente a uma esfera em um ponto específico. O plano tangente toca a esfera em apenas um ponto e é perpendicular ao raio da esfera nesse ponto. A equação do plano tangente a uma esfera
no ponto
é dada por:
No nosso caso, a esfera tem raio
(já que
) e o ponto de tangência é
.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula do plano tangente com os valores que temos:
Isso simplifica para:
Então, essa é a equação geral do plano tangente à esfera no ponto dado.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar esse plano. Para parametrizar um plano, precisamos expressar duas das variáveis em termos de parâmetros livres. Vamos escolher
e
como parâmetros.
Da equação do plano:
Podemos resolver para
:
Então, a parametrização do plano é:
Onde
e
são parâmetros livres que podem assumir quaisquer valores reais.
Resposta
A equação geral do plano tangente é
e uma parametrização do plano é
.