Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e abaixo do plano
. Determine a equação geral e uma paramatrização do plano tangente à
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma parte da esfera dada pela equação
, mas essa parte está dentro de um cilindro
e abaixo do plano
. O objetivo é encontrar a equação geral e uma parametrização do plano tangente à esfera
no ponto
.
Aqui, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies (esferas) e planos tangentes a elas. Também vamos utilizar vetores e derivadas parciais para encontrar a parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação geral do plano tangente à esfera no ponto dado. Para isso, sabemos que a equação geral de uma esfera é:
Onde
é o raio da esfera. No nosso caso,
, então
.
A esfera tem centro na origem
. A fórmula para a equação do plano tangente à esfera em um ponto
é dada por:
Vamos aplicar isso ao ponto
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma parametrização para o plano tangente. Para parametrizar um plano, precisamos de um ponto no plano e de dois vetores que sejam direções no plano.
Sabemos que o ponto
está no plano tangente. Agora, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano.
Primeiro, encontramos o vetor normal ao plano, que é dado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano. Da equação
, o vetor normal é:
Para encontrar dois vetores que estão no plano, buscamos vetores que são perpendiculares a
. Podemos escolher valores que satisfaçam essa perpendicularidade.
Por exemplo, vamos escolher
e
. Podemos verificar que ambos são perpendiculares a
multiplicando pelo produto escalar:
Como ambos os vetores são perpendiculares ao vetor normal, eles estão no plano.
Então, a parametrização do plano tangente pode ser escrita como:
Onde
,
e
.
Resposta
A equação geral do plano tangente é
e uma parametrização do plano é:
Exercícios relacionados
Determine a área da parte da superfície
que está dentro do cilindro
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Determine a equação geral e uma paramatrização do plano tangente à
no ponto
.
Seja
a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Determine a equação geral e uma paramatrização do plano tangente à
no ponto
.
Determine a área de superfície: A esfera de raio
.