Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e abaixo do plano . Determine a equação geral e uma paramatrização do plano tangente à no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma parte da esfera dada pela equação , mas essa parte está dentro de um cilindro e abaixo do plano . O objetivo é encontrar a equação geral e uma parametrização do plano tangente à esfera no ponto .
Aqui, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre superfícies (esferas) e planos tangentes a elas. Também vamos utilizar vetores e derivadas parciais para encontrar a parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação geral do plano tangente à esfera no ponto dado. Para isso, sabemos que a equação geral de uma esfera é:
Onde é o raio da esfera. No nosso caso, , então .
A esfera tem centro na origem . A fórmula para a equação do plano tangente à esfera em um ponto é dada por:
Vamos aplicar isso ao ponto :
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma parametrização para o plano tangente. Para parametrizar um plano, precisamos de um ponto no plano e de dois vetores que sejam direções no plano.
Sabemos que o ponto está no plano tangente. Agora, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano.
Primeiro, encontramos o vetor normal ao plano, que é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Da equação , o vetor normal é:
Para encontrar dois vetores que estão no plano, buscamos vetores que são perpendiculares a . Podemos escolher valores que satisfaçam essa perpendicularidade.
Por exemplo, vamos escolher e . Podemos verificar que ambos são perpendiculares a multiplicando pelo produto escalar:
Como ambos os vetores são perpendiculares ao vetor normal, eles estão no plano.
Então, a parametrização do plano tangente pode ser escrita como:
Onde , e .

Resposta

A equação geral do plano tangente é e uma parametrização do plano é:

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Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Determine a equação geral e uma paramatrização do plano tangente à no ponto .
Seja a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Determine a equação geral e uma paramatrização do plano tangente à no ponto .
Determine a área de superfície: A esfera de raio .