Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC F cdot d r, onde F(x, y)=(y^2-x^2 y) i+x y^2 j e
C consiste no círculo x^2+y^2=4 de (2,0) a
(raiz2, raiz2) e nos segmentos de reta de (raiz2, raiz2) a (0,0) e de (0,0) a (2,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. No nosso caso, queremos calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde F(x, y)=(y^2-x^2 y) i + x y^2 j. A curva C é composta por uma parte do círculo x^2+y^2=4 e dois segmentos de reta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a curva C está fechada e com orientação positiva (no sentido anti-horário). Pelo enunciado, C começa no ponto (2,0), segue pelo círculo até (raiz2, raiz2), depois vai para (0,0) e retorna a (2,0) pelos segmentos de reta. Isso forma um caminho fechado e a orientação é positiva.

Passo 3

O Teorema de Green diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx, dy
onde F = P,i + Q,j e D é a região limitada por C.

Passo 4

Vamos identificar P e Q na nossa função vetorial:
P = y^2 - x^2 y
Q = x y^2
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 5

Calculando partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x (x y^2) = y^2
Calculando partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y (y^2 - x^2 y) = 2y - x^2

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( y^2 - (2y - x^2) ) dx, dy = integral duplaD ( y^2 - 2y + x^2 ) dx, dy

Passo 7

Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região D. A curva C é composta por um arco de círculo e segmentos de reta, formando um setor circular com triângulo no centro. Para simplificar, podemos usar coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta, com r indo de 0 a 2 (raio do círculo) e theta indo de 0 a pi4 (já que (raiz2, raiz2) corresponde a theta = 45^circ).

Passo 8

Expressando a integral em coordenadas polares:
integral duplaD ( y^2 - 2y + x^2 ) dx, dy = integral0^pi4 integral0^2 ( (rsintheta)^2 - 2(rsintheta) + (rcostheta)^2 ) r, dr, dtheta
Simplificando os termos:
= integral0^pi4 integral0^2 ( r^2sin^2theta - 2rsintheta + r^2cos^2theta ) r, dr, dtheta
= integral0^pi4 integral0^2 ( r^3(sin^2theta + cos^2theta) - 2 r^2 sintheta ) dr, dtheta
= integral0^pi4 integral0^2 ( r^3 - 2 r^2 sintheta ) dr, dtheta

Passo 9

Calculando a integral interna em r:
integral0^2 ( r^3 - 2 r^2 sintheta ) dr = [ r^44 - 2 r^33 sintheta ]0^2 = ( 164 - 163 sintheta ) - 0 = 4 - 163 sintheta

Passo 10

Agora, integraremos em theta:
integral0^pi4 ( 4 - 163 sintheta ) dtheta = 4 [ theta ]0^pi4 - 163 [ -costheta ]0^pi4
= 4 ( pi4 - 0 ) - 163 ( -cospi4 + cos0 )
= pi - 163 ( -raiz22 + 1 )
= pi - 163 ( 1 - raiz22 )
= pi - 163 + 8raiz23
= pi - 16 - 8raiz23

Resposta

ointC F cdot dr = pi - 16 - 8raiz23

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