Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
, onde
consiste no círculo
de
a
e nos segmentos de reta de
a
e de
a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. No nosso caso, queremos calcular a integral de linha
, onde
. A curva
é composta por uma parte do círculo
e dois segmentos de reta.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a curva
está fechada e com orientação positiva (no sentido anti-horário). Pelo enunciado,
começa no ponto
, segue pelo círculo até
, depois vai para
e retorna a
pelos segmentos de reta. Isso forma um caminho fechado e a orientação é positiva.
Passo 3
O Teorema de Green diz que:
onde
e
é a região limitada por
.
Passo 4
Vamos identificar
e
na nossa função vetorial:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 7
Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região
. A curva
é composta por um arco de círculo e segmentos de reta, formando um setor circular com triângulo no centro. Para simplificar, podemos usar coordenadas polares, onde
e
, com
indo de
a
(raio do círculo) e
indo de
a
(já que
corresponde a
).
Passo 8
Expressando a integral em coordenadas polares:
Simplificando os termos:
Passo 9
Calculando a integral interna em
:
Passo 10
Agora, integraremos em
:
Resposta
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Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a curva
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
Cé o triângulo com vértices e
Cé o triângulo com vértices
Determine a área da região dada usando uma das fórmulas na Equação 5 .
A região limitada pelo hipocicloide com equação vetorial
A região limitada pelo hipocicloide com equação vetorial
Determine a área da região dada usando uma das fórmulas na Equação 5 .
A região limitada pela curva com equação vetorial
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