Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a curva
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de uma curva
, que está definida pela equação
. A integral que a gente quer calcular é:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Isso vai facilitar nossa vida porque, às vezes, é mais fácil trabalhar com integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como funciona o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que é positivamente orientada (ou seja, percorrida no sentido anti-horário), a integral de linha:
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
:
Nesse caso, temos
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, substituindo na integral dupla, temos:
Isso significa que a integral de linha original também é zero.
Resposta
A integral de linha vale
.
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,
Cé o triângulo com vértices e
Cé o triângulo com vértices
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,
é o quadrado com vértices
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
, onde
consiste no círculo
de
a
e nos segmentos de reta de
a
e de
a
Determine a área da região dada usando uma das fórmulas na Equação 5 .
A região limitada pelo hipocicloide com equação vetorial
A região limitada pelo hipocicloide com equação vetorial