Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC x^2 d x+y^2 d y, C é a curva x^6+y^6=1

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de uma curva integralC x^2 , dx + y^2 , dy , que está definida pela equação . A integral que a gente quer calcular é:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Isso vai facilitar nossa vida porque, às vezes, é mais fácil trabalhar com integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como funciona o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy que é positivamente orientada (ou seja, percorrida no sentido anti-horário), a integral de linha:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
é igual à integral dupla sobre a região limitada por :
Nesse caso, temos e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x = partial (y^2)partial x = 0
partial Ppartial y = partial (x^2)partial y = 0
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 0 = 0

Passo 4

Agora, substituindo na integral dupla, temos:
integral duplaD 0 , dx , dy = 0
Isso significa que a integral de linha original também é zero.

Resposta

A integral de linha vale .

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