Determine A área da região delimitada pela curva
, o eixo ox e as retas
e
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a área da região delimitada pela curva
, o eixo
e as retas verticais
e
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a área que queremos calcular. A curva
está acima do eixo
entre
e
. Então, a área que buscamos é dada pela integral de
de
a
:
Passo 3
Para calcular essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Aqui, escolhemos:
Então, precisamos determinar
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos resolver a integral restante:
.
Passo 5
Para resolver
, fazemos uma substituição simples. Vamos deixar
, então:
Substituindo na integral:
Passo 6
Voltando à integração por partes:
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 7
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Isso parece estranho, já que esperamos uma área positiva. O que aconteceu? A função
é uma função ímpar, ou seja,
. Isso faz com que as áreas de
a
e de
a
se anulem.
Passo 9
Para encontrar a área total, vamos calcular a integral de
a
e multiplicar por 2:
Resposta
A área da região delimitada é
.
Exercícios relacionados
Determine
Dada a função
, faça o que se pede: Calcule
e
(b) Dê uma estimativa do valor
e interprete-o.
Determine um
tal que a definição seja válida para o
dado.
(a) .
(a)