Determine A área da região delimitada pela curva , o eixo ox e as retas e

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a área da região delimitada pela curva , o eixo e as retas verticais e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a área que queremos calcular. A curva está acima do eixo entre e . Então, a área que buscamos é dada pela integral de de a :
Á

Passo 3

Para calcular essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Aqui, escolhemos:
Então, precisamos determinar e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, precisamos resolver a integral restante: .

Passo 5

Para resolver , fazemos uma substituição simples. Vamos deixar , então:
Substituindo na integral:

Passo 6

Voltando à integração por partes:
Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Á

Passo 7

Calculando nos limites:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
Á
Isso parece estranho, já que esperamos uma área positiva. O que aconteceu? A função é uma função ímpar, ou seja, . Isso faz com que as áreas de a e de a se anulem.

Passo 9

Para encontrar a área total, vamos calcular a integral de a e multiplicar por 2:
Á

Resposta

A área da região delimitada é .

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Determine
Dada a função , faça o que se pede: Calcule e
(b) Dê uma estimativa do valor e interprete-o.
Determine um tal que a definição seja válida para o dado.
(a) .