Determine um de tal que a definição seja válida para o epsilon dado.
(a) lim x -2 x^2-4x+2=-4, epsilon=0,01.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um valor para de que faça com que, quando x estiver bem pertinho de -2, a expressão x^2-4x+2 fique bem próxima de -4. Estamos trabalhando com o conceito de limite e usando a definição de epsilon- de. No caso, o epsilon que a gente tem é 0,01. Então, vamos precisar entender como manipular a expressão e encontrar um de que satisfaça a condição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x^2-4x+2. Perceba que o numerador x^2-4 pode ser fatorado:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Então, a expressão fica:
(x - 2)(x + 2)x + 2
Para x neq -2, podemos cancelar o (x + 2):
(x - 2)cancel(x + 2)cancel(x + 2) = x - 2
Então, a expressão simplificada é x - 2, desde que x neq -2.

Passo 3

Agora, sabemos que:
limx to -2 (x - 2) = -2 - 2 = -4
Esse é o valor do limite que queremos que a expressão se aproxime.

Passo 4

Vamos usar a definição de limite: para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que, se 0 < |x + 2| < de, então |f(x) - L| < epsilon.
No nosso caso, f(x) = x - 2 e L = -4. Então, queremos que:
|x - 2 - (-4)| < 0,01
Simplificando:
|x - 2 + 4| = |x + 2| < 0,01

Passo 5

Observamos que |x + 2| < de já está na nossa condição. Da equação acima, queremos que |x + 2| < 0,01. Portanto, podemos escolher de.

Resposta

Portanto, um valor adequado para de é de.

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