Mostre que a função
não é derivável em
. Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função
não é derivável em
. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas. Para resolver isso, vamos verificar se a função é derivável nesse ponto, o que envolve olhar para os limites das derivadas pela esquerda e pela direita de
. Além disso, vamos esboçar o gráfico da função para visualizar melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é definida por duas expressões diferentes dependendo do valor de
:
Isso significa que, para valores de
menores que 1, a função segue a reta
, e para
maior ou igual a 1, segue a reta
.
Passo 3
Para a função ser derivável em
, ela precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas pelas direções esquerda e direita precisam ser iguais. Vamos primeiro verificar a continuidade.
Calculamos o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
E pela direita (
):
Como os dois limites são iguais e
, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas pelas direções esquerda e direita em
.
Para
,
. A derivada dessa parte é:
Para
,
. A derivada dessa parte é:
Resposta
Como as derivadas pela esquerda (
) e pela direita (
) em
são diferentes, concluímos que a função
não é derivável em
. Além disso, o gráfico da função consiste em duas retas que se encontram no ponto
, mas com inclinações diferentes, formando um “canto” no ponto
.
Esboço do Gráfico
Y
|
4| *
| |\
3|--------* \
| | \
2| | \
| | \
1| | \
| | \
0|________|_______\________ X
1
- Para
: Reta crescente - Para
: Reta decrescente
O ponto de encontro é
, onde as duas retas se encontram mas têm inclinações diferentes, mostrando que a função tem um “canto” ali e, portanto, não é derivável nesse ponto.
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente da função no ponto dado usando a definição
em
Determine a área da região delimitada pelas curvas
e
.
Calcule as derivadas das funções abaixo
Calcule as derivadas das funções abaixo