Mostre que a função
não é derivável em . Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função não é derivável em . Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas. Para resolver isso, vamos verificar se a função é derivável nesse ponto, o que envolve olhar para os limites das derivadas pela esquerda e pela direita de . Além disso, vamos esboçar o gráfico da função para visualizar melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida por duas expressões diferentes dependendo do valor de :
Isso significa que, para valores de menores que 1, a função segue a reta , e para maior ou igual a 1, segue a reta .

Passo 3

Para a função ser derivável em , ela precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas pelas direções esquerda e direita precisam ser iguais. Vamos primeiro verificar a continuidade.
Calculamos o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
E pela direita ( ):
Como os dois limites são iguais e , a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas pelas direções esquerda e direita em .
Para , . A derivada dessa parte é:
Para , . A derivada dessa parte é:

Resposta

Como as derivadas pela esquerda ( ) e pela direita ( ) em são diferentes, concluímos que a função não é derivável em . Além disso, o gráfico da função consiste em duas retas que se encontram no ponto , mas com inclinações diferentes, formando um “canto” no ponto .

Esboço do Gráfico

Y
|
4|        *
 |        |\
3|--------* \
 |        |  \
2|        |   \
 |        |    \
1|        |     \
 |        |      \
0|________|_______\________ X
         1
  • Para : Reta crescente
  • Para : Reta decrescente
O ponto de encontro é , onde as duas retas se encontram mas têm inclinações diferentes, mostrando que a função tem um “canto” ali e, portanto, não é derivável nesse ponto.

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Determine a equação da reta tangente da função no ponto dado usando a definição em
Determine a área da região delimitada pelas curvas e .
Calcule as derivadas das funções abaixo
Calcule as derivadas das funções abaixo