Determine a área da região delimitada pelas curvas:
Passo 1
Vamos determinar a área da região delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, resolver a equação . Esses pontos vão nos dar os limites de integração.
Passo 3
Resolvendo a equação:
Os pontos de interseção são , e .
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelos pontos de interseção para entender qual parte está acima ou abaixo de :
Para :
Para :
Para :
Observamos que entre e , a função está abaixo de . Como queremos a área, que é sempre positiva, vamos considerar o valor absoluto da diferença entre as funções.
Passo 5
Devido à simetria da função em relação à origem (já que é uma função ímpar), podemos calcular a área de um lado e multiplicar por 2. Vamos calcular a área de a e depois dobrar o resultado.
A integral para a área fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Passo 7
Agora, avaliamos a integral definida de a :
Á
Simplificando:
Á
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.