Determine a área da região delimitada pelas curvas:

Passo 1

Vamos determinar a área da região delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração de funções para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram, ou seja, resolver a equação . Esses pontos vão nos dar os limites de integração.

Passo 3

Resolvendo a equação:
Os pontos de interseção são , e .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelos pontos de interseção para entender qual parte está acima ou abaixo de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Observamos que entre e , a função está abaixo de . Como queremos a área, que é sempre positiva, vamos considerar o valor absoluto da diferença entre as funções.

Passo 5

Devido à simetria da função em relação à origem (já que é uma função ímpar), podemos calcular a área de um lado e multiplicar por 2. Vamos calcular a área de a e depois dobrar o resultado.
A integral para a área fica:
Á

Passo 6

Vamos calcular a integral:

Passo 7

Agora, avaliamos a integral definida de a :
Á
Simplificando:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

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