Racionalize o denominador de cada fração:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem essa fração:
. A matéria que estamos trabalhando aqui é álgebra, especialmente a parte que lida com radicais e racionalização de denominadores. Nosso objetivo é eliminar o radical que está no denominador da fração para deixar tudo mais limpo e fácil de lidar. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades de radicais e multiplicação de expressões semelhantes.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador:
. Queremos se livrar desse radical. Para fazer isso, vamos usar uma técnica chamada multiplicação pelo conjugado, mas adaptada para radicais de terceiro grau. A ideia é multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por uma expressão que vai eliminar o radical no denominador.
Nesse caso, a identidade que vamos usar é:
Aqui,
e
. Então, vamos multiplicar a fração por
, que é basicamente multiplicar por 1, não mudando o valor da fração, mas ajudando na racionalização.
Passo 3
Vamos fazer a multiplicação:
No denominador, usando a identidade que mencionamos:
Então, o denominador fica 2, que é um número sem radical!
Passo 4
Agora, vamos multiplicar o numerador:
Para simplificar isso, vamos usar a distributiva (ou FOIL):
Simplificando cada termo:
Sabemos que
, então:
Mas
pode ser simplificada como
, então:
Passo 5
Agora, juntando tudo:
Resposta
A expressão racionalizada é
.
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Calcule a derivada da seguinte função:
Determine a área da região delimitada pelas curvas: