Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre coordenadas polares! O que a gente precisa fazer é encontrar a área da região delimitada pelo gráfico da equação
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo de áreas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A área
de uma região delimitada por uma curva
entre os ângulos
e
é dada por:
No nosso caso,
, então vamos substituir na fórmula.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração, ou seja, os valores de
que delimitam uma pétala da curva. A função
é uma função periódica que cria uma rosa com 2 pétalas completas quando
varia de
a
.
Para simplificar, vamos calcular a área de uma pétala e depois multiplicar pelo número total de pétalas. Uma pétala ocorre quando
varia de
a
.
Passo 4
Vamos montar a integral para uma pétala:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo
por
:
Agora, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Avaliando de
a
:
Então, a área de uma pétala é:
Passo 5
Como a curva
tem 2 pétalas, a área total
será:
Resposta
A área da região delimitada pelo gráfico da equação
é
unidades de área.