Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares.
© rho = sen(2 theta).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre coordenadas polares! O que a gente precisa fazer é encontrar a área da região delimitada pelo gráfico da equação . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo de áreas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área em coordenadas polares. A área de uma região delimitada por uma curva entre os ângulos e é dada por:
No nosso caso, , então vamos substituir na fórmula.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração, ou seja, os valores de que delimitam uma pétala da curva. A função é uma função periódica que cria uma rosa com 2 pétalas completas quando varia de a .
Para simplificar, vamos calcular a área de uma pétala e depois multiplicar pelo número total de pétalas. Uma pétala ocorre quando varia de a .

Passo 4

Vamos montar a integral para uma pétala:
é
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo por :
Agora, a integral fica:
é
Integrando termo a termo:
Avaliando de a :
Então, a área de uma pétala é:
é

Passo 5

Como a curva tem 2 pétalas, a área total será:
é

Resposta

A área da região delimitada pelo gráfico da equação é unidades de área.

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