Determine a derivada f' das seguintes funções:
(a) f(z) = z^2 e^(z+i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a derivada da função . Aqui, estamos lidando com derivadas de funções que envolvem polinômios e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas na função: e . A regra do produto nos diz que a derivada de um produto de duas funções é igual à derivada da primeira função vezes a segunda função, mais a primeira função vezes a derivada da segunda função. Ou seja, se temos , então .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de cada parte separadamente.
Primeiro, a derivada de em relação a é:
Isso é uma aplicação direta da regra do poder, onde a derivada de é .

Passo 4

Em seguida, vamos derivar . Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de é . No nosso caso, , então:
Portanto:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo:

Passo 6

Podemos fatorar na expressão:
Ou, se preferir, escrever na ordem:

Resposta

A derivada da função é:

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