Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares
. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e cálculo de áreas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que em coordenadas polares, uma função da forma
descreve uma curva no plano. Para encontrar a área delimitada por essa curva, utilizamos a fórmula:
Aqui,
e
são os limites do ângulo
que permitem traçar uma volta completa da curva.
Passo 3
No nosso caso, a equação da curva é
. Vamos determinar os limites de integração. Para uma cardioide como essa,
varia de
a
para traçar a curva completa.
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula da área:
Passo 5
Agora, vamos expandir o quadrado para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
-
(porque a integral do cosseno sobre um período completo é zero) -
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica :
Passo 7
Substituindo os resultados das integrais na expressão da área:
Resposta
A área da região delimitada pelo gráfico da equação
é
unidades quadradas.