Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares.
rho = 1 - cos(theta).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares . Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e cálculo de áreas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que em coordenadas polares, uma função da forma descreve uma curva no plano. Para encontrar a área delimitada por essa curva, utilizamos a fórmula:
Aqui, a e b são os limites do ângulo theta que permitem traçar uma volta completa da curva.

Passo 3

No nosso caso, a equação da curva é . Vamos determinar os limites de integração. Para uma cardioide como essa, theta varia de 0 a para traçar a curva completa.

Passo 4

Vamos substituir rho na fórmula da área:

Passo 5

Agora, vamos expandir o quadrado para facilitar a integração:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. (porque a integral do cosseno sobre um período completo é zero)
  2. Para integrar , usamos a identidade trigonométrica :

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais na expressão da área:

Resposta

A área da região delimitada pelo gráfico da equação é unidades quadradas.

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