Seja f:[0,1] R uma função Riemann integrável. Prove que
lim n infty sumk=1^n f(kn) 1n=integral0^1 f(x) d x

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve integrais e somas de Riemann. O enunciado nos pede para provar que, dado uma função que é integrável no sentido de Riemann no intervalo , o limite da soma de Riemann usando os pontos finais conforme cresce ao infinito é igual à integral da função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar entender o que são somas de Riemann e integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma de Riemann. É uma forma de aproximar a área sob a curva de uma função dividindo o intervalo em subintervalos iguais e somando os produtos do valor da função em algum ponto de cada subintervalo pela largura do subintervalo. No nosso caso, estamos usando os pontos finais, ou seja, para , e a largura de cada subintervalo é .

Passo 3

A integral definida representa exatamente o limite dessa soma de Riemann quando o número de subintervalos tende ao infinito, ou seja, quando os subintervalos ficam cada vez menores. Como é Riemann integrável no intervalo, sabemos que essa aproximação pela soma de Riemann irá se aproximar da integral.

Passo 4

Para formalizar, vamos considerar a soma de Riemann dada:
Sn = sumk=1^n f(kn) 1n
Conforme cresce, tende a zero, e os pontos cobrem todo o intervalo . Então, o limite dessa soma deve ser igual à área total sob a curva de , que é a integral de de 0 a 1.

Passo 5

Finalmente, aplicando a definição da integral de Riemann e a propriedade de que lim n infty sumk=1^n f(kn) 1n = integral0^1 f(x) dx é Riemann integrável, concluímos que:

Resposta

lim n infty sumk=1^n f(kn) 1n = integral0^1 f(x) dx

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