Seja
uma função Riemann integrável. Prove que
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve integrais e somas de Riemann. O enunciado nos pede para provar que, dado uma função
que é integrável no sentido de Riemann no intervalo
, o limite da soma de Riemann usando os pontos finais conforme
cresce ao infinito é igual à integral da função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar entender o que são somas de Riemann e integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma de Riemann. É uma forma de aproximar a área sob a curva de uma função dividindo o intervalo
em
subintervalos iguais e somando os produtos do valor da função em algum ponto de cada subintervalo pela largura do subintervalo. No nosso caso, estamos usando os pontos finais, ou seja,
para
, e a largura de cada subintervalo é
.
Passo 3
A integral definida
representa exatamente o limite dessa soma de Riemann quando o número de subintervalos
tende ao infinito, ou seja, quando os subintervalos ficam cada vez menores. Como
é Riemann integrável no intervalo, sabemos que essa aproximação pela soma de Riemann irá se aproximar da integral.
Passo 4
Para formalizar, vamos considerar a soma de Riemann dada:
Conforme
cresce,
tende a zero, e os pontos
cobrem todo o intervalo
. Então, o limite dessa soma deve ser igual à área total sob a curva de
, que é a integral de
de 0 a 1.
Passo 5
Finalmente, aplicando a definição da integral de Riemann e a propriedade de que
é Riemann integrável, concluímos que: