Seja
uma função contínua e positiva, e seja
. Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função contínua e positiva,
, definida no intervalo
. O exercício pede para provar que, quando a gente considera a integral de
nesse intervalo e tira a raiz
-ésima, o limite dessa expressão quando
cresce para o infinito é igual ao máximo de
no intervalo, que chamamos de
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como integrais e limites, e entender bem como o comportamento das funções quando a gente eleva elas a potências grandes.
Passo 2
Primeiro, como
é contínua e positiva no intervalo
, sabemos, pela propriedade das funções contínuas em intervalos fechados, que
atinge seu máximo e mínimo nesse intervalo. Aqui, estamos focando no máximo, que chamamos de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a integral
. À medida que
aumenta,
vai crescer mais em pontos onde
está próximo de
e vai diminuir em pontos onde
é menor que
. Isso acontece porque, ao elevar um número maior que 1 a uma potência grande, ele cresce bastante, enquanto números menores que 1 ficam cada vez menores.
Passo 4
Como resultado, quando
cresce para o infinito, as contribuições para a integral vinda dos pontos onde
se tornam insignificantes comparadas à contribuição dos pontos onde
. Basicamente, a integral começa a “concentrar” seu valor nos pontos de máxima
.
Passo 5
Então, a integral
se comporta aproximadamente como
multiplicado por alguma medida do conjunto onde
. Quando tiramos a raiz
-ésima dessa integral, ficamos com
, já que
.
Resposta
Portanto,
.