Seja f:[a, b] R uma função contínua e positiva, e seja M=max f(x): x in[a, b]. Prove que lim n infty(integrala^b f(x)^n d x)^1 / n=M.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função contínua e positiva, , definida no intervalo . O exercício pede para provar que, quando a gente considera a integral de nesse intervalo e tira a raiz -ésima, o limite dessa expressão quando cresce para o infinito é igual ao máximo de no intervalo, que chamamos de . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como integrais e limites, e entender bem como o comportamento das funções quando a gente eleva elas a potências grandes.

Passo 2

Primeiro, como é contínua e positiva no intervalo , sabemos, pela propriedade das funções contínuas em intervalos fechados, que atinge seu máximo e mínimo nesse intervalo. Aqui, estamos focando no máximo, que chamamos de .

Passo 3

Agora, vamos analisar a integral . À medida que aumenta, vai crescer mais em pontos onde está próximo de e vai diminuir em pontos onde é menor que . Isso acontece porque, ao elevar um número maior que 1 a uma potência grande, ele cresce bastante, enquanto números menores que 1 ficam cada vez menores.

Passo 4

Como resultado, quando cresce para o infinito, as contribuições para a integral vinda dos pontos onde se tornam insignificantes comparadas à contribuição dos pontos onde . Basicamente, a integral começa a “concentrar” seu valor nos pontos de máxima .

Passo 5

Então, a integral se comporta aproximadamente como multiplicado por alguma medida do conjunto onde . Quando tiramos a raiz -ésima dessa integral, ficamos com , já que .

Resposta

Portanto, .

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