Prove que a integral imprópria
diverge se
e converge se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a integral imprópria
diverge quando
e convirge quando
. Isso envolve calcular integrais em que o limite superior vai para o infinito, usando conceitos de cálculo integral, especialmente o teste de convergência para integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral
. Aqui,
indica que estamos somando áreas até o infinito, o que é uma integral imprópria. Para resolver, transformamos essa integral em um limite:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral
. A antiderivada de
depende do valor de
:
- Se
:
- Se
:
Passo 4
Vamos aplicar esses resultados no limite que definimos:
- Caso
:
Analisando o termo
:
- Se
(ou seja, ), então tende a 0 quando . Assim, o limite fica:
Portanto, a integral converge para
.
-
Se
(ou seja, ), então tende a quando . Assim, o limite não é finito e a integral diverge. -
Caso
:
Isso mostra que a integral também diverge quando
.
Resposta
Concluindo, a integral imprópria
diverge para
e converge para
.