Prove que a integral imprópria integral1^infty 1x^p diverge se p <= 1 e converge se p>1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a integral imprópria diverge quando e convirge quando . Isso envolve calcular integrais em que o limite superior vai para o infinito, usando conceitos de cálculo integral, especialmente o teste de convergência para integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral integral1^infty 1x^p , dx = limb to infty integral1^b 1x^p , dx . Aqui, indica que estamos somando áreas até o infinito, o que é uma integral imprópria. Para resolver, transformamos essa integral em um limite:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral integral 1x^p , dx = x^1 - p1 - p + C . A antiderivada de integral 1x , dx = ln|x| + C depende do valor de :
  • Se :
  • Se :

Passo 4

Vamos aplicar esses resultados no limite que definimos:
  • Caso limb to infty [ b^1 - p1 - p - 1^1 - p1 - p ] = limb to infty b^1 - p1 - p - 11 - p :
0 - 11 - p = 1p - 1
Analisando o termo limb to infty [ ln b - ln 1 ] = limb to infty ln b = infty :
  • Se (ou seja, ), então tende a 0 quando . Assim, o limite fica:
Portanto, a integral converge para .
  • Se (ou seja, ), então tende a quando . Assim, o limite não é finito e a integral diverge.
  • Caso :
Isso mostra que a integral também diverge quando .

Resposta

Concluindo, a integral imprópria diverge para e converge para .

Exercícios relacionados