Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares.
rho = 6 - 6 sen(theta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área da região que está delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares . Isso quer dizer que vamos trabalhar com coordenadas polares, que são uma forma de representar pontos no plano usando um ângulo e uma distância do ponto até a origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular áreas em coordenadas polares usando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para calcular a área de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares, usamos a fórmula:
Aqui, A é a área, rho é a função que define a curva (no nosso caso, ), e alpha e beta são os limites de integração que correspondem aos ângulos que definem uma volta completa ou a parte específica da curva que estamos analisando.

Passo 3

Nosso próximo passo é determinar os limites de integração, ou seja, os valores de theta que descrevem uma volta completa da curva. Para a equação , observamos que ela representa um cardioide, que é uma curva simétrica que completa sua forma quando theta varia de 0 a .

Passo 4

Agora que sabemos que vamos integrar de 0 a , vamos substituir a função rho na fórmula da área:
Antes de mais nada, vamos expandir o quadrado para simplificar a integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos agora integrar termo por termo:
  1. Integral de 36:
  2. Integral de -72 sinθ:
  3. Integral de 36 sin²θ:
    Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
    Então:
    Integrando:

Passo 6

Agora, somamos todas as integrais:

Resposta

A área da região delimitada pelo gráfico da equação é unidades de área.

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