Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área da região que está delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares . Isso quer dizer que vamos trabalhar com coordenadas polares, que são uma forma de representar pontos no plano usando um ângulo e uma distância do ponto até a origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular áreas em coordenadas polares usando integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que para calcular a área de uma região delimitada por uma curva em coordenadas polares, usamos a fórmula:
Aqui, é a área, é a função que define a curva (no nosso caso, ), e e são os limites de integração que correspondem aos ângulos que definem uma volta completa ou a parte específica da curva que estamos analisando.
Passo 3
Nosso próximo passo é determinar os limites de integração, ou seja, os valores de que descrevem uma volta completa da curva. Para a equação , observamos que ela representa um cardioide, que é uma curva simétrica que completa sua forma quando varia de a .
Passo 4
Agora que sabemos que vamos integrar de a , vamos substituir a função na fórmula da área:
Antes de mais nada, vamos expandir o quadrado para simplificar a integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos agora integrar termo por termo:
Integral de 36:
Integral de -72 sinθ:
Integral de 36 sin²θ:
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Integrando:
Passo 6
Agora, somamos todas as integrais:
Resposta
A área da região delimitada pelo gráfico da equação é unidades de área.