Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(g) y - x = 6, y - x^6 = 0, 2y + x = 0

Passo 1

O que estamos fazendo aqui é calcular a área das regiões que são formadas quando desenhamos os gráficos das funções , e . Vamos precisar entender onde esses gráficos se cruzam e usar um pouco de geometria para achar a área entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação para facilitar o entendimento:
  1. pode ser rearranjada para .
  2. fica .
  3. podemos rearranjar para .
Agora, temos as três funções em termos de .

Passo 3

Vamos identificar onde essas curvas se intersectam. Precisamos encontrar os pontos onde duas dessas funções têm o mesmo valor de . Isso significa resolver as equações:

Passo 4

Vamos resolver cada equação para encontrar os pontos de interseção.
Primeira equação:
Essa é uma equação de sexto grau e pode ser difícil de resolver exatamente, mas podemos notar que quando , temos , o que não é verdade. Testando alguns valores:
  • Para : (não é verdade)
  • Para : (não é verdade)
Parece que não há interseção real entre e nesse intervalo.
Segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Somando dos dois lados:
Subtraindo 12:
Dividindo por 3:
Substituindo em :
Então, temos o ponto de interseção: .
Terceira equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Rearranjando:
Fatorando :
Então, ou .
Resolvendo :
(aproximadamente )
Substituindo em :
Então, temos os pontos de interseção: e .

Passo 5

Agora que temos os pontos de interseção, podemos esboçar os gráficos:
  • é uma linha reta crescente.
  • é uma curva que sempre está acima do eixo para positivo e se aproxima de zero para negativo.
  • é uma linha reta decrescente.
As interseções nos mostram onde essas curvas se encontram, formando regiões fechadas.

Passo 6

Para calcular a área das regiões delimitadas, precisamos integrar a diferença entre as funções nas faixas de onde elas se cruzam.
Vamos considerar a região entre e , onde as funções e se intersectam com e .
A área pode ser calculada por:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Integrando:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Calculando a diferença:

Resposta

A área das regiões delimitadas pelos gráficos das funções é aproximadamente unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos das funções e encontre o volume dos sólidos de revolução ao redor do eixo (curva) indicada:
(e) A região no 1^0 quadrante delimitada por y = 1/3 x^3, y = 2 x, gira em torno do eixo y. Resp: 512 pi / 15.
Determine o módulo de:
(a) (2 - i)^2 * (4 + 6 i)
(d) (i + 2) / (i - 2)
(b) (3-i)/((6+2i)^3)
(e) (i+1) * (i+2) * (i+3)
© (raiz(3) + i) * (raiz(3) - i)
Encontre o Volume e a Área Lateral do sólido obtido pela revolução do gráfico da função y = f(x) em torno do eixo x em cada um dos casos abaixo.
f(x) = x^2 com 0 <= x <= 1.
Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares.
rho = 6 - 6 sen(theta).