Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(g)
(g)
Passo 1
O que estamos fazendo aqui é calcular a área das regiões que são formadas quando desenhamos os gráficos das funções
,
e
. Vamos precisar entender onde esses gráficos se cruzam e usar um pouco de geometria para achar a área entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever cada equação para facilitar o entendimento:
-
pode ser rearranjada para . -
fica . -
podemos rearranjar para .
Agora, temos as três funções em termos de
.
Passo 3
Vamos identificar onde essas curvas se intersectam. Precisamos encontrar os pontos
onde duas dessas funções têm o mesmo valor de
. Isso significa resolver as equações:
Passo 4
Vamos resolver cada equação para encontrar os pontos de interseção.
Primeira equação:
Essa é uma equação de sexto grau e pode ser difícil de resolver exatamente, mas podemos notar que quando
, temos
, o que não é verdade. Testando alguns valores:
- Para
: → (não é verdade) - Para
: → (não é verdade)
Parece que não há interseção real entre
e
nesse intervalo.
Segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Somando
dos dois lados:
Subtraindo 12:
Dividindo por 3:
Substituindo
em
:
Então, temos o ponto de interseção:
.
Terceira equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Rearranjando:
Fatorando
:
Então,
ou
.
Resolvendo
:
Substituindo
em
:
Então, temos os pontos de interseção:
e
.
Passo 5
Agora que temos os pontos de interseção, podemos esboçar os gráficos:
-
é uma linha reta crescente. -
é uma curva que sempre está acima do eixo para positivo e se aproxima de zero para negativo. -
é uma linha reta decrescente.
As interseções nos mostram onde essas curvas se encontram, formando regiões fechadas.
Passo 6
Para calcular a área das regiões delimitadas, precisamos integrar a diferença entre as funções nas faixas de
onde elas se cruzam.
Vamos considerar a região entre
e
, onde as funções
e
se intersectam com
e
.
A área
pode ser calculada por:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Integrando:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Calculando a diferença:
Resposta
A área das regiões delimitadas pelos gráficos das funções é aproximadamente
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos das funções e encontre o volume dos sólidos de revolução ao redor do eixo (curva) indicada:
(e) A região no quadrante delimitada por
, gira em torno do eixo y. Resp:
.
(e) A região no
Determine o módulo de:
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(a)
(d)
(b)
(e)
©
Encontre o Volume e a Área Lateral do sólido obtido pela revolução do gráfico da função
em torno do eixo
em cada um dos casos abaixo.
com
.
Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares.
.