Encontre o Volume e a Área Lateral do sólido obtido pela revolução do gráfico da função em torno do eixo em cada um dos casos abaixo. com .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Volume e a Área Lateral do sólido formado quando a curva da função é girada em torno do eixo , no intervalo de até . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente métodos de Sólidos de Revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o Volume do sólido. Para isso, usamos a fórmula do disco, que é:
Aqui, , e . Essa fórmula basicamente soma infinitos discos infinitesimais para encontrar o volume total.
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula do volume:
Agora, precisamos integrar de 0 a 1.
Passo 4
Integrando , temos:
Como estamos calculando um valor definido, o termo (constante de integração) não é necessário. Avaliamos a antiderivada de 0 a 1:
Passo 5
Portanto, o volume é:
Agora, vamos calcular a Área Lateral do sólido. Para isso, usamos a fórmula da superfície de revolução:
Passo 6
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de :
Agora, substituímos na fórmula da área:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar:
No entanto, temos na expressão, então reescrevemos em termos de :
Substituindo tudo na integral:
Passo 8
Expandindo a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Portanto:
Passo 9
Substituímos os limites de integração e :
Calculando os termos:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 10
Finalmente, calculamos o valor numérico:
Resposta
O volume do sólido é unidades cúbicas e a área lateral é aproximadamente unidades quadradas.