Encontre o Volume e a Área Lateral do sólido obtido pela revolução do gráfico da função y = f(x) em torno do eixo x em cada um dos casos abaixo.
f(x) = x^2 com 0 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Volume e a Área Lateral do sólido formado quando a curva da função é girada em torno do eixo , no intervalo de até . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente métodos de Sólidos de Revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o Volume do sólido. Para isso, usamos a fórmula do disco, que é:
Aqui, , e . Essa fórmula basicamente soma infinitos discos infinitesimais para encontrar o volume total.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula do volume:
Agora, precisamos integrar de 0 a 1.

Passo 4

Integrando , temos:
Como estamos calculando um valor definido, o termo (constante de integração) não é necessário. Avaliamos a antiderivada de 0 a 1:

Passo 5

Portanto, o volume é:
Agora, vamos calcular a Área Lateral do sólido. Para isso, usamos a fórmula da superfície de revolução:

Passo 6

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de :
Agora, substituímos na fórmula da área:

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar:
No entanto, temos na expressão, então reescrevemos em termos de :
Substituindo tudo na integral:

Passo 8

Expandindo a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Portanto:

Passo 9

Substituímos os limites de integração e :
Calculando os termos:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 10

Finalmente, calculamos o valor numérico:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas e a área lateral é aproximadamente unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Faça um esboço e calcule a área das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes funções:
(g) y - x = 6, y - x^6 = 0, 2y + x = 0
Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos das funções e encontre o volume dos sólidos de revolução ao redor do eixo (curva) indicada:
(e) A região no 1^0 quadrante delimitada por y = 1/3 x^3, y = 2 x, gira em torno do eixo y. Resp: 512 pi / 15.
Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação em coordenadas polares.
rho = 6 - 6 sen(theta).
Trace o gráfico da equação rho = rho(theta) em coordenadas polares em cada um dos casos abaixo:
rho(theta) = 2 + 4 cos(theta).