Encontre o Volume e a Área Lateral do sólido obtido pela revolução do gráfico da função y = f(x) em torno do eixo x em cada um dos casos abaixo.
f(x) = x^2 com 0 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Volume e a Área Lateral do sólido formado quando a curva da função é girada em torno do eixo , no intervalo de até . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente métodos de Sólidos de Revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o Volume do sólido. Para isso, usamos a fórmula do disco, que é:
Aqui, , e . Essa fórmula basicamente soma infinitos discos infinitesimais para encontrar o volume total.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula do volume:
Agora, precisamos integrar de 0 a 1.

Passo 4

Integrando , temos:
Como estamos calculando um valor definido, o termo (constante de integração) não é necessário. Avaliamos a antiderivada de 0 a 1:

Passo 5

Portanto, o volume é:
Agora, vamos calcular a Área Lateral do sólido. Para isso, usamos a fórmula da superfície de revolução:

Passo 6

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de :
Agora, substituímos na fórmula da área:

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar:
No entanto, temos na expressão, então reescrevemos em termos de :
Substituindo tudo na integral:

Passo 8

Expandindo a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Portanto:

Passo 9

Substituímos os limites de integração e :
Calculando os termos:
Substituindo:
Simplificando:

Passo 10

Finalmente, calculamos o valor numérico:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas e a área lateral é aproximadamente unidades quadradas.

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