Determine a área da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir a área da região que fica entre as curvas
,
e as retas
e
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar qual das duas funções,
ou
, está por cima no intervalo de
até
. Isso é importante porque a área entre as curvas é a diferença entre elas.
Vamos calcular os valores das funções nesses pontos:
-
Quando
: -
Quando
:
Vemos que em ambos os pontos,
está acima de
. Portanto, a área que queremos é a integral de
de 0 a 1.
Passo 3
Vamos montar a expressão da área:
Simplificando dentro da integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular os valores nos limites de integração:
-
Para
: -
Para
:
Passo 6
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.
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e
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e
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Justifique convergência e divergência e calcule os valores, se possível, das seguintes séries: