Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
Passo 1
Beleza, então a gente precisa calcular o volume do sólido que surge quando giramos em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
, pelas retas
,
e
. Vamos usar o cálculo de integrais para resolver isso, especificamente o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a área que estamos girando. A função
é uma parábola que cruza o eixo
nos pontos
e
. Mas como estamos limitado entre
e
, vamos focar nessa parte.
Passo 3
Para calcular o volume usando o método dos discos, a fórmula que usamos é:
No nosso caso,
e
, e
.
Passo 4
Vamos expandir
:
Agora, substituímos isso na integral:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Juntando tudo:
Passo 6
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de 2 e 1:
Para
:
Simplificando:
Para
:
Passo 7
Subtraímos o valor em 1 do valor em 2:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Determine a área da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e
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e
Justifique convergência e divergência e calcule os valores, se possível, das seguintes séries:
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas:
e