Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e

Passo 1

Beleza, então a gente precisa calcular o volume do sólido que surge quando giramos em torno do eixo a região limitada pelas curvas , pelas retas , e . Vamos usar o cálculo de integrais para resolver isso, especificamente o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a área que estamos girando. A função é uma parábola que cruza o eixo nos pontos e . Mas como estamos limitado entre e , vamos focar nessa parte.

Passo 3

Para calcular o volume usando o método dos discos, a fórmula que usamos é:
No nosso caso, e , e .

Passo 4

Vamos expandir :
Agora, substituímos isso na integral:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
Juntando tudo:

Passo 6

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de 2 e 1:
Para :
Simplificando:
Para :

Passo 7

Subtraímos o valor em 1 do valor em 2:
Então, o volume é:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Determine a área da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e
Determine a área da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e
Justifique convergência e divergência e calcule os valores, se possível, das seguintes séries:
Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das seguintes curvas e retas indicadas: e