Uma lata cilíndrica e sem tampa tem volume de 5 cm^3. Determine as dimensões (raio r e altura h) desta lata de modo que a quantidade de material usado na sua fabricação seja mínima.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma lata cilíndrica sem tampa com volume de . Nosso objetivo é encontrar as dimensões da lata, ou seja, o raio r e a altura h, de forma que a quantidade de material utilizado na fabricação seja mínima. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria e cálculo de otimização.

Passo 2

Vamos começar expressando o volume da lata. O volume V de um cilindro é dado pela fórmula:
Sabemos que , então temos:

Passo 3

Queremos minimizar a quantidade de material usado, que corresponde à área de superfície da lata. Como a lata não tem tampa, a área de superfície A é a soma da área da base e da área lateral:

Passo 4

Vamos expressar a altura h em função do raio r usando a equação do volume:

Passo 5

Substituímos h na fórmula da área de superfície:

Passo 6

Agora, temos a área em função do raio: . Para encontrar o valor de r que minimiza A, vamos derivar em relação a r e igualar a zero:
Configura a derivada igual a zero:

Passo 7

Resolvendo a equação:

Passo 8

Calculamos a altura h usando a expressão encontrada anteriormente:

Resposta

As dimensões que minimizam o material usado na fabricação da lata são:
  • Raio:
  • Altura:

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