Uma lata cilíndrica e sem tampa tem volume de
. Determine as dimensões (raio
e altura h) desta lata de modo que a quantidade de material usado na sua fabricação seja mínima.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma lata cilíndrica sem tampa com volume de
. Nosso objetivo é encontrar as dimensões da lata, ou seja, o raio
e a altura
, de forma que a quantidade de material utilizado na fabricação seja mínima. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria e cálculo de otimização.
Passo 2
Vamos começar expressando o volume da lata. O volume
de um cilindro é dado pela fórmula:
Sabemos que
, então temos:
Passo 3
Queremos minimizar a quantidade de material usado, que corresponde à área de superfície da lata. Como a lata não tem tampa, a área de superfície
é a soma da área da base e da área lateral:
Passo 4
Vamos expressar a altura
em função do raio
usando a equação do volume:
Passo 5
Substituímos
na fórmula da área de superfície:
Passo 6
Agora, temos a área em função do raio:
. Para encontrar o valor de
que minimiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Configura a derivada igual a zero:
Passo 7
Resolvendo a equação:
Passo 8
Calculamos a altura
usando a expressão encontrada anteriormente:
Resposta
As dimensões que minimizam o material usado na fabricação da lata são:
-
Raio:
-
Altura: