Determine a área da região limitada entre os gráficos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a área da região limitada entre os gráficos das funções
e
. Para isso, vamos usar o conceito de integração que nos ajuda a calcular áreas entre curvas. Precisamos encontrar os pontos onde as duas funções se cruzam para saber os limites da integração e depois integrar a diferença entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas funções, ou seja, onde
. Vamos igualar as duas expressões:
Passo 3
Vamos simplificar a equação movendo todos os termos para um lado:
Passo 4
Fatorando a equação:
Isso nos dá:
Então:
Passo 5
Portanto, os pontos de interseção estão em
,
e
. Esses serão os limites de integração para calcular a área.
Passo 6
Agora, precisamos determinar qual das funções está acima da outra em cada intervalo para saber qual função subtrair da outra. Vamos escolher um valor de
em cada intervalo e comparar
e
.
-
Para
entre e , por exemplo, : Então,está acima de . -
Para
entre e , por exemplo, : Nesse caso,está acima de .
Passo 7
Com isso, podemos dividir a área em duas partes:
- De
a , a função de cima é e a de baixo é . - De
a , a função de cima é e a de baixo é .
Passo 8
Vamos calcular a área de cada parte usando a integral definida da diferença entre as funções:
Substituindo as funções:
Passo 9
Vamos simplificar as expressões dentro das integrais:
Passo 10
Vamos integrar cada parte:
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Passo 11
Vamos calcular as integrais nos limites:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Passo 12
Somando as duas áreas:
Resposta
A área da região limitada entre os gráficos das funções é
unidades de área.