Determine a área da região limitada entre os gráficos de f(x) = 3*x^3 - x^2 - 10*x e g(x) = -x^2 + 2x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a área da região limitada entre os gráficos das funções e . Para isso, vamos usar o conceito de integração que nos ajuda a calcular áreas entre curvas. Precisamos encontrar os pontos onde as duas funções se cruzam para saber os limites da integração e depois integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas funções, ou seja, onde . Vamos igualar as duas expressões:

Passo 3

Vamos simplificar a equação movendo todos os termos para um lado:

Passo 4

Fatorando a equação:
Isso nos dá:
Então:

Passo 5

Portanto, os pontos de interseção estão em , e . Esses serão os limites de integração para calcular a área.

Passo 6

Agora, precisamos determinar qual das funções está acima da outra em cada intervalo para saber qual função subtrair da outra. Vamos escolher um valor de em cada intervalo e comparar e .
  • Para entre e , por exemplo, :
    Então, está acima de .
  • Para entre e , por exemplo, :
    Nesse caso, está acima de .

Passo 7

Com isso, podemos dividir a área em duas partes:
  1. De a , a função de cima é e a de baixo é .
  2. De a , a função de cima é e a de baixo é .

Passo 8

Vamos calcular a área de cada parte usando a integral definida da diferença entre as funções:
Substituindo as funções:

Passo 9

Vamos simplificar as expressões dentro das integrais:

Passo 10

Vamos integrar cada parte:
Para :
Então,
Para :
Então,

Passo 11

Vamos calcular as integrais nos limites:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:

Passo 12

Somando as duas áreas:

Resposta

A área da região limitada entre os gráficos das funções é unidades de área.

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