, onde
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
, onde a função
é definida por:
Neste exercício, vamos utilizar o conceito de função por partes e integração definida. Precisamos considerar os diferentes comportamentos de
dependendo do valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela vale 1 quando
está entre 0 e 1, e 0 quando
é maior ou igual a 1. Isso significa que, ao integrar
, estaremos somando 1 para cada unidade de
até chegar a 1, e depois não somaremos mais nada para valores de
acima de 1.
Passo 3
Agora, vamos dividir o problema em dois casos, dependendo do valor de
:
- Caso 1:
- Caso 2:
Passo 4
Caso 1: Se
Aqui, todo o intervalo de integração está na região onde
. Portanto, a integral fica:
Passo 5
Caso 2: Se
Neste caso, a integral se divide em duas partes: de 0 a 1, onde
, e de 1 a
, onde
.
Resposta
A integral
é igual a: