integral0^x f(t) d t, onde f(t)= 1, & se 0 <= t<1 0, & se t >= 1

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^x f(t) d t, onde a função f(t) é definida por:
f(t)= 1, & se 0 <= t < 1 0, & se t >= 1
Neste exercício, vamos utilizar o conceito de função por partes e integração definida. Precisamos considerar os diferentes comportamentos de f(t) dependendo do valor de x.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(t). Ela vale 1 quando t está entre 0 e 1, e 0 quando t é maior ou igual a 1. Isso significa que, ao integrar f(t), estaremos somando 1 para cada unidade de t até chegar a 1, e depois não somaremos mais nada para valores de t acima de 1.

Passo 3

Agora, vamos dividir o problema em dois casos, dependendo do valor de x:
  1. Caso 1: 0 <= x < 1
  2. Caso 2: x >= 1

Passo 4

Caso 1: Se 0 <= x < 1
Aqui, todo o intervalo de integração está na região onde f(t) = 1. Portanto, a integral fica:
integral0^x 1 , d t = x - 0 = x

Passo 5

Caso 2: Se x >= 1
Neste caso, a integral se divide em duas partes: de 0 a 1, onde f(t) = 1, e de 1 a x, onde f(t) = 0.
integral0^x f(t) d t = integral0^1 1 , d t + integral1^x 0 , d t = (1 - 0) + (0) = 1

Resposta

A integral integral0^x f(t) d t é igual a:
integral0^x f(t) d t = x, & se 0 <= x < 1 1, & se x >= 1

Exercícios relacionados