Dizemos que uma função de duas variáveis é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
De
Mostre que as seguintes funções são harmônicas:
a) f(x, y)=x^3-3 x y^2-2 y^2+2 x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função é harmônica. Isso significa que ela deve satisfazer a equação de Laplace, que envolve calcular as segundas derivadas parciais em relação a e e somá-las. A gente vai precisar fazer derivadas parciais duas vezes e depois somar os resultados para verificar se dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x (x^3) - partialpartial x (3xy^2) - partialpartial x (2y^2) + partialpartial x (2xy) em relação a partialpartial x (x^3) = 3x^2 , ou seja, partialpartial x (3xy^2) = 3y^2 . Lembre-se que ao derivar em relação a partialpartial x (2y^2) = 0 (pois não tem x) , tratamos partialpartial x (2xy) = 2y como constante.
partial fpartial x = 3x^2 - 3y^2 + 2y
Calculando cada termo:
ã
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x (3x^2 - 3y^2 + 2y) em relação a partialpartial x (3x^2) = 6x , ou seja, partialpartial x (-3y^2) = 0 . Isso significa derivar novamente partialpartial x (2y) = 0 em relação a partial^2 fpartial x^2 = 6x .
Calculando cada termo:
Então:

Passo 4

Vamos agora calcular a primeira derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y (x^3) - partialpartial y (3xy^2) - partialpartial y (2y^2) + partialpartial y (2xy) em relação a partialpartial y (x^3) = 0 (pois não tem y) , ou seja, partialpartial y (3xy^2) = 6xy .
partialpartial y (2y^2) = 4y
Calculando cada termo:
partialpartial y (2xy) = 2x ã
partial fpartial y = 0 - 6xy - 4y + 2x = -6xy - 4y + 2x
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y (-6xy - 4y + 2x) em relação a partialpartial y (-6xy) = -6x , ou seja, partialpartial y (-4y) = -4 . Isso significa derivar novamente partialpartial y (2x) = 0 em relação a partial^2 fpartial y^2 = -6x - 4 .
Calculando cada termo:
Então:

Passo 6

Agora, vamos somar as segundas derivadas parciais que encontramos:
De

Resposta

Como , a função não é harmônica.

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