Dizemos que uma função de duas variáveis é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
Mostre que as seguintes funções são harmônicas:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função
é harmônica. Isso significa que ela deve satisfazer a equação de Laplace, que envolve calcular as segundas derivadas parciais em relação a
e
e somá-las. A gente vai precisar fazer derivadas parciais duas vezes e depois somar os resultados para verificar se dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Lembre-se que ao derivar em relação a
, tratamos
como constante.
Calculando cada termo:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar novamente
em relação a
.
Calculando cada termo:
Então:
Passo 4
Vamos agora calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Calculando cada termo:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar novamente
em relação a
.
Calculando cada termo:
Então:
Passo 6
Agora, vamos somar as segundas derivadas parciais que encontramos:
Resposta
Como
, a função
não é harmônica.