Determine área da região limitada por . Fazer a representação geométrica.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a área da região limitada pela curva dada por . Para isso, vamos utilizar conceitos de Cálculo em Coordenadas Polares, especificamente a fórmula para calcular áreas de regiões definidas por funções polares.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a área de uma região limitada por uma curva em coordenadas polares. A fórmula para a área é:
Onde é a função que define a curva, e e são os limites de integração que correspondem aos ângulos que completam um trajeto completo da curva.

Passo 3

No nosso caso, a função é . Para determinar os limites de integração, observamos que a função completa um ciclo completo quando varia de a . Portanto, e .

Passo 4

Vamos substituir na fórmula da área:
Agora, vamos expandir o termo ao quadrado:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Primeiro, integramos :

Passo 7

Segundo, integramos :

Passo 8

Terceiro, integramos . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Integrando:

Passo 9

Somando todas as integrais:
Multiplicando pela da fórmula da área:

Resposta

A área da região limitada pela curva é unidades quadradas.

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