Determine área da região limitada por . Fazer a representação geométrica.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a área da região limitada pela curva dada por . Para isso, vamos utilizar conceitos de Cálculo em Coordenadas Polares, especificamente a fórmula para calcular áreas de regiões definidas por funções polares.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a área de uma região limitada por uma curva em coordenadas polares. A fórmula para a área é:
Onde é a função que define a curva, e e são os limites de integração que correspondem aos ângulos que completam um trajeto completo da curva.
Passo 3
No nosso caso, a função é . Para determinar os limites de integração, observamos que a função completa um ciclo completo quando varia de a . Portanto, e .
Passo 4
Vamos substituir na fórmula da área:
Agora, vamos expandir o termo ao quadrado:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 6
Primeiro, integramos :
Passo 7
Segundo, integramos :
Passo 8
Terceiro, integramos . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Integrando:
Passo 9
Somando todas as integrais:
Multiplicando pela da fórmula da área:
Resposta
A área da região limitada pela curva é unidades quadradas.