Determine a área da região limitada por x=0, x=1, y=0 e y = ln(x).

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos encontrar a área da região limitada pelas curvas , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos permitem calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  • é o eixo y.
  • é uma linha vertical no ponto x=1.
  • é o eixo x.
  • é a curva do logaritmo natural.
Essas curvas formam uma região fechada que queremos calcular a área.

Passo 3

Para calcular a área entre essas curvas, vamos integrar a função em relação a x, de a . A área pode ser encontrada usando a fórmula da integral definida:
Aqui, é a função superior e é a função inferior.

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. Como as curvas são limitadas por e , nossos limites são de 0 a 1. A integral para a área fica então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral. A integral de em relação a x é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Vamos calcular substituindo os valores:
Para :
Para :

Resposta

Portanto, a área da região é:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Exercícios relacionados