Determine a área da região limitada por
e
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: precisamos encontrar a área da região limitada pelas curvas
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos permitem calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
-
é o eixo y. -
é uma linha vertical no ponto x=1. -
é o eixo x. -
é a curva do logaritmo natural.
Essas curvas formam uma região fechada que queremos calcular a área.
Passo 3
Para calcular a área entre essas curvas, vamos integrar a função
em relação a x, de
a
. A área
pode ser encontrada usando a fórmula da integral definida:
Aqui,
é a função superior e
é a função inferior.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. Como as curvas são limitadas por
e
, nossos limites são de 0 a 1. A integral para a área fica então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral. A integral de
em relação a x é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Vamos calcular substituindo os valores:
Para
:
Para
:
Resposta
Portanto, a área da região é:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Exercícios relacionados
Resolva os PVI abaixo:
.
Resolva os PVI abaixo:
A função
é chamada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir George Airy (1801-1892).
(a) Encontre o domínio da função de Airy.
(b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela.
(a) Encontre o domínio da função de Airy.
(b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela.
Resolva em
as equações e inequações a seguir: (h)
.