A função
é chamada função de Airy, em homenagem ao matemático e astrônomo inglês sir George Airy (1801-1892).
(a) Encontre o domínio da função de Airy.
(b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela.
(a) Encontre o domínio da função de Airy.
(b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Função de Airy. A gente precisa descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de
ela está definida. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a definição da função de Airy:
Vemos que é uma série de potências onde os expoentes de
aumentam de 3 em 3 (ou seja,
). Para encontrar o domínio, precisamos verificar para quais valores de
essa série converge.
Passo 3
Para analisar a convergência, vamos aplicar o Teste da Raiz, que é útil para séries de potências. O teste da raiz diz que a série
converge se:
No nosso caso, os termos não estão em formato
, mas podemos adaptar. Observando os denominadores, percebemos que cada novo termo multiplica o denominador por dois números consecutivos, sempre pares e ímpares alternadamente.
Passo 4
Vamos tentar encontrar uma expressão geral para o termo
:
Para simplificar, podemos observar que o denominador cresce mais rapidamente que o numerador
, o que sugere que a série converge para todo valor real de
.
Passo 5
Outra maneira de ver isso é notar que, conforme
aumenta, o fator no denominador domina o crescimento de
. Então, independente do valor de
, a série tende a zero, indicando convergência absoluta em todos os
.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b) do exercício: trazar as primeiras somas parciais da função de Airy no mesmo gráfico.
Passo 7
As somas parciais são as primeiras parcelas da série que definem a função. Vamos listar as primeiras somas parciais:
- Primeira soma parcial (S₁):
- Segunda soma parcial (S₂):
- Terceira soma parcial (S₃):
- Quarta soma parcial (S₄):
Passo 8
Para trazer esses gráficos juntos, você pode usar uma ferramenta de plotagem como o GeoGebra, Desmos ou até mesmo o Matplotlib em Python. Cada soma parcial representará uma curva que se aproxima cada vez mais da função de Airy conforme adicionamos mais termos.
Resposta
As primeiras somas parciais da função de Airy são:
Essas somas parciais podem ser traçadas no mesmo gráfico para visualizar como elas se aproximam da função de Airy conforme adicionamos mais termos.
Exercícios relacionados
Determine a área da região limitada por
e
.
Resolva os PVI abaixo:
.
Resolva em
as equações e inequações a seguir: (h)
.
O gráfico de uma função
é dado. Construa os gráficos das funções a seguir e determine seus domínios e imagens: ©
.