Resolva os PVI abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve resolver uma equação diferencial. O enunciado é:
Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis para resolver essa equação. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial que temos. A expressão dada é:
Podemos fatorar o
:
Isso nos ajuda a ver que a equação é separável, o que significa que podemos separar os termos envolvendo
dos que envolvem
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis. Queremos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Fazendo isso, temos:
Isso facilita a integração de ambos os lados.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral à esquerda é com respeito a
, e a da direita com respeito a
:
Calculando as integrais:
- À esquerda:
- À direita:
Passo 5
Agora, vamos igualar as duas expressões que obtivemos das integrais:
Podemos simplificar isso combinando as constantes de integração (
e
) em uma única constante
:
Passo 6
Vamos resolver a equação para
:
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, invertemos ambos os lados para isolar
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 7
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor da constante
. Sabemos que quando
,
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Esboce (qualitativamente) os gráficos das soluções
da EDO
para as seguintes condiçōes iniciais:(b)
Encontre
.
Resolva os PVI abaixo:
.
Determine a área da região limitada por
e
.