Resolva os PVI abaixo:
y' = y^2 - 2 t y^2, y(0) = -1/6

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve resolver uma equação diferencial. O enunciado é:
Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis para resolver essa equação. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial que temos. A expressão dada é:
Podemos fatorar o y^2:
Isso nos ajuda a ver que a equação é separável, o que significa que podemos separar os termos envolvendo y dos que envolvem t.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis. Queremos colocar todos os termos com y de um lado e os termos com t do outro. Fazendo isso, temos:
Isso facilita a integração de ambos os lados.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral à esquerda é com respeito a y, e a da direita com respeito a t:
Calculando as integrais:
  • À esquerda:
  • À direita:

Passo 5

Agora, vamos igualar as duas expressões que obtivemos das integrais:
Podemos simplificar isso combinando as constantes de integração ( e ) em uma única constante C:

Passo 6

Vamos resolver a equação para y:
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
Agora, invertemos ambos os lados para isolar y:
Podemos reescrever isso como:

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor da constante C. Sabemos que quando , :
Resolvendo para C:

Resposta

A solução do PVI é:

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