Resolva os PVI abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve resolver uma equação diferencial. O enunciado é:
Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis para resolver essa equação. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial que temos. A expressão dada é:
Podemos fatorar o :
Isso nos ajuda a ver que a equação é separável, o que significa que podemos separar os termos envolvendo dos que envolvem .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis. Queremos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Fazendo isso, temos:
Isso facilita a integração de ambos os lados.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral à esquerda é com respeito a , e a da direita com respeito a :
Calculando as integrais:
  • À esquerda:
  • À direita:

Passo 5

Agora, vamos igualar as duas expressões que obtivemos das integrais:
Podemos simplificar isso combinando as constantes de integração ( e ) em uma única constante :

Passo 6

Vamos resolver a equação para :
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Agora, invertemos ambos os lados para isolar :
Podemos reescrever isso como:

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor da constante . Sabemos que quando , :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do PVI é:

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Esboce (qualitativamente) os gráficos das soluções da EDO para as seguintes condiçōes iniciais:(b)
Encontre .
Resolva os PVI abaixo:
.
Determine a área da região limitada por e .