Resolva os PVI abaixo:
t^3 y' + 4 t^2 y = e^(-t), y(-1) = 0.

Passo 1

Estamos diante de um Problema de Valor Inicial (PVI) com uma equação diferencial de primeira ordem:
Vamos resolver essa equação usando métodos de equações lineares, encontrando um fator integrante e aplicando a condição inicial para determinar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por :
Agora, temos a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
onde e .

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante ( ), que é dado por:
O fator integrante nos ajudará a transformar a equação original em uma forma que facilita a integração.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
Simplificando os termos:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto .

Passo 5

Escrevemos a equação como a derivada de um produto:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a t para encontrar y.

Passo 6

Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo simplifica para . Para resolver a integral do lado direito, usamos integração por partes.

Passo 7

Aplicando integração por partes na integral :
Escolha:
  • então
  • então
Portanto:

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Isolando y:

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C:

Resposta

A solução do PVI é:

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