Resolva os PVI abaixo:
.
Passo 1
Estamos diante de um Problema de Valor Inicial (PVI) com uma equação diferencial de primeira ordem:
Vamos resolver essa equação usando métodos de equações lineares, encontrando um fator integrante e aplicando a condição inicial para determinar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
:
Agora, temos a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
onde
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
O fator integrante nos ajudará a transformar a equação original em uma forma que facilita a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
Simplificando os termos:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Escrevemos a equação como a derivada de um produto:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
para encontrar
.
Passo 6
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo simplifica para
. Para resolver a integral do lado direito, usamos integração por partes.
Passo 7
Aplicando integração por partes na integral
:
Escolha:
-
então -
então
Portanto:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Isolando
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução do PVI é: