Suponha que uma lâmina com densidade ocupe a região do plano . Calcule a massa total e as coordenadas do centro de massa de , em que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre calcular a massa total e as coordenadas do centro de massa de uma lâmina que está ocupando uma região no plano . A densidade da lâmina é dada por . Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas, que ajuda a somar tudo sobre uma área.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa total da lâmina. A massa é obtida integrando a densidade sobre a região . Então, a fórmula para a massa é:
Vamos definir os limites de integração com base na região .

Passo 3

A região é definida por:
Isso significa que para cada valor de entre 0 e 3, varia de 0 até . Vamos configurar a integral dupla com esses limites.

Passo 4

Vamos calcular a massa :
Primeiro, integramos em relação a , depois em relação a .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em :
Agora, substituímos isso na integral externa:
Vamos simplificar e integrar em relação a .

Passo 6

Calculando a integral:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Substituindo :
Então, a massa total é .

Passo 7

Agora, vamos calcular as coordenadas do centro de massa . As fórmulas são:
Vamos calcular primeiro.

Passo 8

Calculando :
Integral interna:
Simplificando e integrando em , encontramos .

Passo 9

Agora, calculando :
Integral interna:
Simplificando e integrando em , encontramos .

Resposta

A massa total da lâmina é e as coordenadas do centro de massa são .

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