Suponha que uma lâmina com densidade ocupe a região do plano . Calcule a massa total e as coordenadas do centro de massa de , em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre calcular a massa total e as coordenadas do centro de massa de uma lâmina que está ocupando uma região no plano . A densidade da lâmina é dada por . Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas, que ajuda a somar tudo sobre uma área.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa total da lâmina. A massa é obtida integrando a densidade sobre a região . Então, a fórmula para a massa é:
Vamos definir os limites de integração com base na região .
Passo 3
A região é definida por:
Isso significa que para cada valor de entre 0 e 3, varia de 0 até . Vamos configurar a integral dupla com esses limites.
Passo 4
Vamos calcular a massa :
Primeiro, integramos em relação a , depois em relação a .
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em :
Agora, substituímos isso na integral externa:
Vamos simplificar e integrar em relação a .
Passo 6
Calculando a integral:
Simplificando:
Integrando termo a termo:
Substituindo :
Então, a massa total é .
Passo 7
Agora, vamos calcular as coordenadas do centro de massa . As fórmulas são:
Vamos calcular primeiro.
Passo 8
Calculando :
Integral interna:
Simplificando e integrando em , encontramos .
Passo 9
Agora, calculando :
Integral interna:
Simplificando e integrando em , encontramos .
Resposta
A massa total da lâmina é e as coordenadas do centro de massa são .