Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região no plano que está limitada pelas curvas e . Vamos usar conceitos de cálculo de áreas entre curvas e funções absolutas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas duas curvas se comportam. A função é uma função quadrática dentro do valor absoluto. Isso significa que ela vai ter uma forma de “V” invertido quando for negativo e uma parábola aberta para cima quando for positivo.
Já a função é uma linha horizontal que corta o eixo y no ponto 2.

Passo 3

Para encontrar a área entre essas curvas, precisamos descobrir onde elas se cruzam. Ou seja, vamos resolver a equação:
Isso significa que pode ser igual a 2 ou a -2.

Passo 4

Vamos resolver as duas equações separadamente:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora, vamos determinar em quais intervalos uma curva está acima da outra:
  • Entre e , a linha está acima da curva .
  • Entre e , a curva está acima da linha .
  • Entre e , novamente a linha está acima da curva .

Passo 6

Para encontrar a área total, vamos calcular a área nesses três intervalos e somá-las:
Á

Passo 7

Vamos simplificar essas integrais. Observando as simetrias das funções, podemos calcular uma das integrais e multiplicar pelo número de vezes que se repete. Vamos calcular uma área e multiplicar por 2 para cobrir ambos os lados.
Calculando apenas de a :
Á
Integrando:

Passo 8

Agora, faz sentido que essa seja a área total, já que calculamos para um lado e consideramos a simetria. Portanto, a área da região limitada pelas curvas é:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é de unidades quadradas.

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