Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos extremos da função . Pra resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções definidas por integrais. Vamos precisar calcular a derivada de e analisar onde ela é zero ou não existe para encontrar os máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de . Quando temos uma função definida por uma integral, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Mas como o limite superior é , precisamos aplicar a regra da cadeia.
A derivada de é:
Simplificando:
Passo 3
Agora que temos a derivada F'(x) = 0 Rightarrow x^4 - 5x^2 + 42 + e^x^2 cdot 2x = 0 , precisamos encontrar onde ela é igual a zero ou não está definida, pois esses pontos podem ser extremos.
(x^4 - 5x^2 + 4) cdot 2x = 0
O denominador 2x(x^4 - 5x^2 + 4) = 0 nunca é zero, então apenas o numerador precisa ser zero:
O que dá:
Isso leva a duas equações:
⇒
Passo 4
Vamos resolver a equação y^2 - 5y + 4 = 0 . Podemos fazer uma substituição para simplificar. Seja y = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32 , então a equação fica:
y = 82 = 4 ou y = 22 = 1
Resolvendo a equação quadrática:
x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
Então:
x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1
Voltando para :
Passo 5
Então, os valores críticos são . Agora precisamos determinar se cada um desses pontos é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada ao redor desses pontos.
Passo 6
Vamos considerar intervalos determinados pelos valores críticos:
Escolhemos um valor de em cada intervalo e verificamos o sinal de .
Passo 7
Por exemplo, para F'(-3) = (-3)^4 - 5(-3)^2 + 42 + e^9 cdot 2(-3) = 81 - 45 + 42 + e^9 cdot (-6) < 0 (primeiro intervalo):
Isso significa que está decrescendo nesse intervalo.
Repetimos isso para os outros intervalos:
Entre e : ⇒ está crescendo.
Entre e : ⇒ está decrescendo.
Entre e : ⇒ está crescendo.
Entre e : ⇒ está decrescendo.
Para : ⇒ está crescendo.
Passo 8
Com base nesses sinais, identificamos os pontos extremos:
Em : muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local.
Em : muda de positivo para negativo ⇒ máximo local.
Em : muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local.
Em : muda de positivo para negativo ⇒ máximo local.
Em : muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local.