Determine os pontos extremos das funções: F(x)=integral0^x^2 t^2-5 t+42+exp (t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os pontos extremos da função . Pra resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções definidas por integrais. Vamos precisar calcular a derivada de e analisar onde ela é zero ou não existe para encontrar os máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de F'(x) = ddx ( integral0^x^2 t^2 - 5t + 42 + e^t , dt ) = t^2 - 5t + 42 + e^t g|t = x^2 cdot ddx(x^2) . Quando temos uma função definida por uma integral, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo. Mas como o limite superior é F'(x) = (x^2)^2 - 5x^2 + 42 + e^x^2 cdot 2x = x^4 - 5x^2 + 42 + e^x^2 cdot 2x , precisamos aplicar a regra da cadeia.
A derivada de é:
Simplificando:

Passo 3

Agora que temos a derivada F'(x) = 0 Rightarrow x^4 - 5x^2 + 42 + e^x^2 cdot 2x = 0 , precisamos encontrar onde ela é igual a zero ou não está definida, pois esses pontos podem ser extremos.
(x^4 - 5x^2 + 4) cdot 2x = 0
O denominador 2x(x^4 - 5x^2 + 4) = 0 nunca é zero, então apenas o numerador precisa ser zero:
O que dá:
Isso leva a duas equações:

Passo 4

Vamos resolver a equação y^2 - 5y + 4 = 0 . Podemos fazer uma substituição para simplificar. Seja y = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32 , então a equação fica:
y = 82 = 4 ou y = 22 = 1
Resolvendo a equação quadrática:
x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
Então:
x^2 = 1 Rightarrow x = pm 1
Voltando para :

Passo 5

Então, os valores críticos são . Agora precisamos determinar se cada um desses pontos é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada ao redor desses pontos.

Passo 6

Vamos considerar intervalos determinados pelos valores críticos:
Escolhemos um valor de em cada intervalo e verificamos o sinal de .

Passo 7

Por exemplo, para F'(-3) = (-3)^4 - 5(-3)^2 + 42 + e^9 cdot 2(-3) = 81 - 45 + 42 + e^9 cdot (-6) < 0 (primeiro intervalo):
Isso significa que está decrescendo nesse intervalo.
Repetimos isso para os outros intervalos:
  • Entre e : está crescendo.
  • Entre e : está decrescendo.
  • Entre e : está crescendo.
  • Entre e : está decrescendo.
  • Para : está crescendo.

Passo 8

Com base nesses sinais, identificamos os pontos extremos:
  • Em : muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local.
  • Em : muda de positivo para negativo ⇒ máximo local.
  • Em : muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local.
  • Em : muda de positivo para negativo ⇒ máximo local.
  • Em : muda de negativo para positivo ⇒ mínimo local.

Resposta

Os pontos extremos da função são:
  • Mínimos locais em
  • Máximos locais em

Exercícios relacionados