Determine o valor médio de cada função
abaixo nos intervalos indicados e o valor de
em que isso ocorre:
em
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor médio da função
no intervalo
e descobrir para qual valor de
esse valor médio ocorre. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral para encontrar o valor médio e, em seguida, resolver uma equação para encontrar o valor de
.
Passo 2
O valor médio de uma função
em um intervalo
é dado pela fórmula:
No nosso caso,
e
. Então, vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 3
Vamos calcular a integral de
de
a
:
Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de
:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
a
:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Subtraindo as duas partes:
Passo 4
Agora que temos o valor da integral, vamos calcular o valor médio:
Passo 5
Para encontrar o valor de
onde a função
atinge esse valor médio, temos que resolver a equação:
Substituindo
:
Vamos resolver a equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
No intervalo
, os valores de
que satisfazem são
e
.
Resposta
O valor médio da função
no intervalo
é 4, e esse valor ocorre para
e
.