Determine o valor médio de cada função abaixo nos intervalos indicados e o valor de em que isso ocorre: em

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor médio da função no intervalo e descobrir para qual valor de esse valor médio ocorre. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral para encontrar o valor médio e, em seguida, resolver uma equação para encontrar o valor de .

Passo 2

O valor médio de uma função em um intervalo é dado pela fórmula:
é
No nosso caso, e . Então, vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular a integral de de a :
Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de :
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de a :
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Subtraindo as duas partes:

Passo 4

Agora que temos o valor da integral, vamos calcular o valor médio:
é

Passo 5

Para encontrar o valor de onde a função atinge esse valor médio, temos que resolver a equação:
Substituindo :
Vamos resolver a equação:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
No intervalo , os valores de que satisfazem são e .

Resposta

O valor médio da função no intervalo é 4, e esse valor ocorre para e .

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