Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas:
(1.9)
e
(1.9)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região no plano que é limitada pelas curvas
e
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de Integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde as duas funções se cruzam e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as funções:
-
: Essa função é igual a quando e igual a quando . -
: Uma função cúbica que é simétrica em relação à origem.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas. Para isso, igualamos
a
:
Vamos resolver isso para encontrar os valores de
onde as funções se encontram.
Passo 4
Considerando os diferentes casos para
:
-
Quando
: As soluções sãoe . -
Quando
: As soluções sãoe .
Passo 5
Então, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 6
Vamos analisar qual função está acima da outra em cada intervalo:
-
Para
:
e .
Vamos comparar os valores: por exemplo, em: Como, está acima de nesse intervalo. -
Para
:
e .
Vamos comparar os valores: por exemplo, em: Como, está acima de nesse intervalo.
Passo 7
Agora, vamos configurar as integrais para encontrar a área total entre as curvas:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 8
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Calculando nos limites:
Segunda Integral:
Calculando nos limites:
Passo 9
Somando as duas áreas:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
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