Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas:
(1.9) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região no plano que é limitada pelas curvas e . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de Integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar identificar onde as duas funções se cruzam e depois integrar a diferença delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as funções:
  • : Essa função é igual a quando e igual a quando .
  • : Uma função cúbica que é simétrica em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas. Para isso, igualamos a :
Vamos resolver isso para encontrar os valores de onde as funções se encontram.

Passo 4

Considerando os diferentes casos para :
  1. Quando :
    As soluções são e .
  2. Quando :
    As soluções são e .

Passo 5

Então, os pontos de interseção são , e .

Passo 6

Vamos analisar qual função está acima da outra em cada intervalo:
  • Para :
    e .
    Vamos comparar os valores: por exemplo, em :
    Como , está acima de nesse intervalo.
  • Para :
    e .
    Vamos comparar os valores: por exemplo, em :
    Como , está acima de nesse intervalo.

Passo 7

Agora, vamos configurar as integrais para encontrar a área total entre as curvas:
Á
Substituindo e :
Á
Simplificando:
Á

Passo 8

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Calculando nos limites:
Segunda Integral:
Calculando nos limites:

Passo 9

Somando as duas áreas:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.

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