Vamos resolver a integral . Esse problema pertence ao estudo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais que contêm expressões racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição adequada. Observamos que dentro da raiz temos , o que sugere uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Dessa forma, substituímos em termos de , o que ajudará a simplificar a expressão.
Passo 3
Calculamos a derivada de em relação a :
Agora, substituímos e na integral original:
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Passo 5
Simplificamos a fração:
Portanto, a integral fica:
A integral de é conhecida:
Passo 6
Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que:
Podemos usar a identidade:
Com , podemos encontrar e em termos de :
Substituindo na expressão de :
Passo 7
Finalmente, substituímos de volta na solução da integral: