integral d xx raizx^2+9

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse problema pertence ao estudo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais que contêm expressões racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição adequada. Observamos que dentro da raiz temos x = 3 tan theta , o que sugere uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Dessa forma, substituímos em termos de , o que ajudará a simplificar a expressão.

Passo 3

Calculamos a derivada de dx = 3 sec^2 theta , dtheta em relação a integral 3 sec^2 theta , dtheta3 tan theta raiz9 tan^2 theta + 9 :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz9 tan^2 theta + 9 = raiz9 (tan^2 theta + 1) = raiz9 sec^2 theta = 3 sec theta
Substituindo de volta na integral:
integral 3 sec^2 theta , dtheta3 tan theta cdot 3 sec theta = integral sec^2 thetatan theta sec theta , dtheta = integral sec thetatan theta , dtheta

Passo 5

Simplificamos a fração:
sec thetatan theta = 1sin theta
Portanto, a integral fica:
integral 1sin theta , dtheta = integral csc theta , dtheta
A integral de integral csc theta , dtheta = ln |tan (theta/2)| + C é conhecida:

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original x = 3 tan theta Rightarrow tan theta = x3 . Lembrando que:
tan (theta2) = sin theta1 + cos theta
Podemos usar a identidade:
cos theta = 3raizx^2 + 9 e sin theta = xraizx^2 + 9
Com tan (theta2) = xraizx^2 + 91 + 3raizx^2 + 9 = x3 + raizx^2 + 9 , podemos encontrar e em termos de :
Substituindo na expressão de :

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta na solução da integral:
ln |x3 + raizx^2 + 9| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral ln |x3 + raizx^2 + 9| + C é igual a:

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