Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse problema pertence ao estudo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais que contêm expressões racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição adequada. Observamos que dentro da raiz temos , o que sugere uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Dessa forma, substituímos em termos de , o que ajudará a simplificar a expressão.

Passo 3

Calculamos a derivada de em relação a :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Simplificamos a fração:
Portanto, a integral fica:
A integral de é conhecida:

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que:
Podemos usar a identidade:
Com , podemos encontrar e em termos de :
Substituindo na expressão de :

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta na solução da integral:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas:
(1.9) e
Esboce a região de integração e inverta a ordem e calcule as seguintes integrais: