integral cos x cos (9 x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral cos x cos (9 x) , dx. Aqui, estamos trabalhando com um produto de duas funções trigonométricas: o cosseno de x e o cosseno de 9x. Para resolver essa integral, vamos utilizar uma fórmula de produtos de cossenos que transforma o produto em uma soma, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, lembro que podemos transformar o produto de dois cossenos usando a seguinte fórmula:
cos A cos B = 12 [cos(A+B) + cos(A-B)]
No nosso caso, A = x e B = 9x. Vamos aplicar essa fórmula:
cos x cos 9x = 12 [cos(x + 9x) + cos(x - 9x)] = 12 [cos(10x) + cos(-8x)]
Como o cosseno é uma função par, cos(-8x) = cos(8x). Então:
cos x cos 9x = 12 [cos 10x + cos 8x]

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral cos x cos 9x , dx = 12 integral (cos 10x + cos 8x) , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de cos kx em relação a x é 1k sin kx. Aplicando isso:
12 integral cos 10x , dx = 12 cdot 110 sin 10x = 120 sin 10x
E:
12 integral cos 8x , dx = 12 cdot 18 sin 8x = 116 sin 8x

Passo 5

Finalmente, juntamos os resultados das integrais:
integral cos x cos 9x , dx = 120 sin 10x + 116 sin 8x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

integral cos x cos 9x , dx = 120 sin 10x + 116 sin 8x + C

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