Esboce a região de integração e inverta a ordem e calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede pra gente esboçar a região de integração, inverter a ordem das integrais e depois calcular tudo isso. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como representar a região no plano xy.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração originais. A integral é dada por:
Aqui, varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de até .

Passo 3

Vamos esboçar a região de integração no plano xy. Para isso, identificamos as curvas que definem os limites de :
Vamos plotar essas duas curvas:
  • Para , ela é uma linha reta que intercepta os eixos em (1,0) e (0,1).
  • Para , podemos reescrever como , que é uma parábola que abre para baixo, interceptando os eixos em (-1,0), (1,0) e no vértice (0,1).

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção dessas duas curvas para saber os limites exatos da região:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo:
Simplificando:
Então, as interseções são em e .

Passo 5

Com isso, vemos que a região de integração está limitada por de 0 a 1, e para cada , varia de até . Agora, vamos inverter a ordem de integração, colocando como primeiro. Para isso, precisamos determinar os novos limites para e .

Passo 6

Para inverter a ordem, identificamos os limites de :
  • A menor ocorre em , onde .
  • A maior ocorre em , onde .
Então, varia de 0 a 1.
Agora, para cada , varia entre as duas curvas:
  • A curva inferior é .
  • A curva superior é .
Portanto, o novo limite para é de até .

Passo 7

Agora, podemos reescrever a integral com a ordem invertida:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Aqui, é constante em relação a , então a integral fica:
Simplificando:

Passo 9

Agora, a integral se simplifica para:
Vamos resolver essa integral. Podemos fatorar o sinal negativo:

Passo 10

Para resolver , usamos a integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 11

Vamos resolver a integral restante:
Então, substituindo de volta:

Passo 12

Agora, avaliamos nos limites de 0 a 1:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

Depois de inverter a ordem de integração e calcular, a integral vale .

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