Esboce a região de integração e inverta a ordem e calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede pra gente esboçar a região de integração, inverter a ordem das integrais e depois calcular tudo isso. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como representar a região no plano xy.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração originais. A integral é dada por:
Aqui,
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
até
.
Passo 3
Vamos esboçar a região de integração no plano xy. Para isso, identificamos as curvas que definem os limites de
:
Vamos plotar essas duas curvas:
- Para
, ela é uma linha reta que intercepta os eixos em (1,0) e (0,1). - Para
, podemos reescrever como , que é uma parábola que abre para baixo, interceptando os eixos em (-1,0), (1,0) e no vértice (0,1).
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interseção dessas duas curvas para saber os limites exatos da região:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo:
Simplificando:
Então, as interseções são em
e
.
Passo 5
Com isso, vemos que a região de integração está limitada por
de 0 a 1, e para cada
,
varia de
até
. Agora, vamos inverter a ordem de integração, colocando
como primeiro. Para isso, precisamos determinar os novos limites para
e
.
Passo 6
Para inverter a ordem, identificamos os limites de
:
- A menor
ocorre em , onde . - A maior
ocorre em , onde .
Então,
varia de 0 a 1.
Agora, para cada
,
varia entre as duas curvas:
- A curva inferior é
. - A curva superior é
.
Portanto, o novo limite para
é de
até
.
Passo 7
Agora, podemos reescrever a integral com a ordem invertida:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Aqui,
é constante em relação a
, então a integral fica:
Simplificando:
Passo 9
Agora, a integral se simplifica para:
Vamos resolver essa integral. Podemos fatorar o sinal negativo:
Passo 10
Para resolver
, usamos a integração por partes, onde escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 11
Vamos resolver a integral restante:
Então, substituindo de volta:
Passo 12
Agora, avaliamos nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
Depois de inverter a ordem de integração e calcular, a integral vale
.
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(1.9) e
(1.9)
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e raio da base
, é igual a
.