Uma função f:[-a, a] é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x in[-a, a]. Supondo que f é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
Use a mudança de variáveis y=-x para concluir que
integral-a^0 f(x) d x=-integral0^a f(y) d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função integral-a^0 f(x) , dx = -integral0^a f(y) , dy que é ímpar e contínua no intervalo . Nosso objetivo é usar a mudança de variável para mostrar que:
Vamos precisar entender o que é uma função ímpar e como fazer a mudança de variável em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função ímpar. Uma função f(-x) = -f(x) é ímpar se, para todo no domínio dela, vale que:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos focar na integral que queremos transformar:
integral-a^0 f(x) , dx
Para usar a mudança de variável , precisamos expressar tudo em termos de . Vamos lá!

Passo 4

Primeiro, definimos dy = -dx ou dx = -dy . Assim, quando , , e quando , . Isso inverte os limites da integral.
Além disso, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral-a^0 f(x) , dx = integrala^0 f(-y) cdot (-dy)
Aqui, substituímos por e por .

Passo 6

Agora, ajustamos os limites da integral para a ordem crescente. Trocar os limites de integração muda o sinal da integral:
integrala^0 f(-y) cdot (-dy) = integral0^a f(-y) , dy

Passo 7

Lembrando que integral0^a f(-y) , dy = integral0^a (-f(y)) , dy = -integral0^a f(y) , dy é ímpar, temos . Substituindo na integral:

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral-a^0 f(x) , dx = -integral0^a f(y) , dy

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