Uma função
é ímpar se
para todo
. Supondo que
é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
Use a mudança de variáveis
para concluir que
Use a mudança de variáveis
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função
que é ímpar e contínua no intervalo
. Nosso objetivo é usar a mudança de variável
para mostrar que:
Vamos precisar entender o que é uma função ímpar e como fazer a mudança de variável em integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função ímpar. Uma função
é ímpar se, para todo
no domínio dela, vale que:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Agora, vamos focar na integral que queremos transformar:
Para usar a mudança de variável
, precisamos expressar tudo em termos de
. Vamos lá!
Passo 4
Primeiro, definimos
. Assim, quando
,
, e quando
,
. Isso inverte os limites da integral.
Além disso, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Substituindo na integral original:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 6
Agora, ajustamos os limites da integral para a ordem crescente. Trocar os limites de integração muda o sinal da integral:
Passo 7
Lembrando que
é ímpar, temos
. Substituindo na integral:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas:
e
Efetuando a mudança de variável
, calcule
Use o fato de que
é uma função separávelpara calcular