Uma função é ímpar se para todo . Supondo que é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
Use a mudança de variáveis para concluir que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função que é ímpar e contínua no intervalo . Nosso objetivo é usar a mudança de variável para mostrar que:
Vamos precisar entender o que é uma função ímpar e como fazer a mudança de variável em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função ímpar. Uma função é ímpar se, para todo no domínio dela, vale que:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos focar na integral que queremos transformar:
Para usar a mudança de variável , precisamos expressar tudo em termos de . Vamos lá!

Passo 4

Primeiro, definimos . Assim, quando , , e quando , . Isso inverte os limites da integral.
Além disso, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo na integral original:
Aqui, substituímos por e por .

Passo 6

Agora, ajustamos os limites da integral para a ordem crescente. Trocar os limites de integração muda o sinal da integral:

Passo 7

Lembrando que é ímpar, temos . Substituindo na integral:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: e
Efetuando a mudança de variável , calcule
Use o fato de que é uma função separávelpara calcular