Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(n) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região no plano que é delimitada pelas curvas , e . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integração, que é uma ferramenta poderosa para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são essas curvas:
  1. : Essa é uma parábola que abre para cima.
  2. : Essa é a linha do eixo .
  3. : Essa é uma linha vertical.
Vamos desenhar essas curvas para visualizar a região que queremos calcular.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre e para saber onde a parábola cruza o eixo :
Então, as interseções são nos pontos e .

Passo 4

Agora, a linha está à esquerda do ponto , então ela não interfere diretamente na área entre e . No entanto, como o enunciado diz que a região é limitada por , precisamos verificar como isso afeta a área.
Vamos entender que a região está limitada entre e , onde a parábola está acima do eixo .

Passo 5

Para calcular a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
Áçãçã
Aqui, a função de cima é e a função de baixo é .

Passo 6

Vamos determinar os limites de integração e . Como a região está entre e , esses serão nossos limites:

Passo 7

Agora, configuramos a integral para calcular a área:
Á
Á

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Á
Primeiro, calculamos para :
Em seguida, para :

Passo 9

Subtraímos os dois resultados:
Á
Isso indica que nosso método precisa ser revisado. Na verdade, a região delimitada entre e sob a parábola inclui áreas acima e abaixo do eixo . Para encontrar a área total, devemos integrar separadamente onde a parábola está acima e abaixo do eixo.

Passo 10

Vamos dividir a integral nos pontos onde a parábola cruza o eixo , que são e . Entre e , a parábola está abaixo do eixo , então a área será positiva:
Á
Entre e , a parábola está acima do eixo :
Á

Passo 11

Calculando Á:
Á
Á
Á
Á
Calculando Á:
Á
Á
Á
Á

Passo 12

Somando as duas áreas:
ÁÁÁ

Resposta

A área da região é unidades de área.

Exercícios relacionados

(b) e .
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(q) e .
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
® e .
Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável e com integrações na variável . Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(b) e .