Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(n)
e
.
(n)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região
no plano que é delimitada pelas curvas
,
e
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integração, que é uma ferramenta poderosa para calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são essas curvas:
-
: Essa é uma parábola que abre para cima. -
: Essa é a linha do eixo . -
: Essa é uma linha vertical.
Vamos desenhar essas curvas para visualizar a região que queremos calcular.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre
e
para saber onde a parábola cruza o eixo
:
Então, as interseções são nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, a linha
está à esquerda do ponto
, então ela não interfere diretamente na área entre
e
. No entanto, como o enunciado diz que a região é limitada por
, precisamos verificar como isso afeta a área.
Vamos entender que a região
está limitada entre
e
, onde a parábola está acima do eixo
.
Passo 5
Para calcular a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
Aqui, a função de cima é
e a função de baixo é
.
Passo 6
Vamos determinar os limites de integração
e
. Como a região está entre
e
, esses serão nossos limites:
Passo 7
Agora, configuramos a integral para calcular a área:
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Primeiro, calculamos para
:
Em seguida, para
:
Passo 9
Subtraímos os dois resultados:
Isso indica que nosso método precisa ser revisado. Na verdade, a região delimitada entre
e
sob a parábola
inclui áreas acima e abaixo do eixo
. Para encontrar a área total, devemos integrar separadamente onde a parábola está acima e abaixo do eixo.
Passo 10
Vamos dividir a integral nos pontos onde a parábola cruza o eixo
, que são
e
. Entre
e
, a parábola está abaixo do eixo
, então a área será positiva:
Entre
e
, a parábola está acima do eixo
:
Passo 11
Calculando
:
Calculando
:
Passo 12
Somando as duas áreas:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
(b)
e
.
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(q) e
.
(q)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
® e
.
®
Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável
e com integrações na variável
. Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(b) e
.
(b)