Sejam S: z=9-x^2-y^2 e V(x, y, z)=3 x i+3 y j+z k. Calcular integral duplaS V cdot n d S cdot Resp: 5672 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou pede pra calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma paraboloide. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente usando o Teorema da Divergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o teorema e fazer alguns cálculos de integrais em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que temos:
  • Superfície S: É a paraboloide dada por . Essa é uma superfície que se abre para baixo e intercepta o eixo z no ponto (0,0,9).
  • Campo Vetorial V: É dado por .
Queremos calcular a integral de superfície , onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. A fórmula do teorema é:
integral duplaS V cdot n , dS = integral triplaE nabla cdot V , dV
Onde é o volume delimitado pela superfície e, se necessário, por outra superfície fechando .

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial nabla cdot V = partialpartial x(3x) + partialpartial y(3y) + partialpartial z(z) = 3 + 3 + 1 = 7 :
Então, a divergência de é constante e igual a 7.

Passo 5

Agora, vamos identificar o volume E que está sendo considerado. A superfície é a paraboloide . Para usar o Teorema da Divergência, precisamos fechar essa superfície. Vamos fechar com a base no plano , formando um sólido fechado.

Passo 6

Vamos calcular a integral de volume da divergência:
integral triplaE nabla cdot V , dV = integral triplaE 7 , dV = 7 cdot Volume(E)
Então, precisamos encontrar o volume de .

Passo 7

Para calcular o volume de z = 9 - r^2 , podemos usar coordenadas cilíndricas, já que a superfície tem simetria circular. Em coordenadas cilíndricas:
O limite para vai de 0 até . O raio varia de 0 até onde , ou seja, .

Passo 8

A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Volume = integral0^2pi integral0^3 integral0^9 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 9

Integrando em relação a integral0^9 - r^2 dz = 9 - r^2 :
Volume = integral0^2pi integral0^3 (9 - r^2) cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^3 (9r - r^3) , dr , dtheta
Então, o volume fica:

Passo 10

Integrando em relação a integral0^3 (9r - r^3) , dr = [ 92r^2 - 14r^4 ]0^3 = 92(9) - 14(81) = 812 - 814 = 814 :

Passo 11

Agora, integrando em relação a Volume = integral0^2pi 814 , dtheta = 814 cdot 2pi = 812 pi :

Passo 12

Voltando à integral de volume da divergência:
integral triplaE nabla cdot V , dV = 7 cdot 812 pi = 5672 pi

Resposta

integral duplaS V cdot n , dS = 5672 pi

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