Sejam
e
. Calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou pede pra calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma paraboloide. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente usando o Teorema da Divergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o teorema e fazer alguns cálculos de integrais em coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que temos:
-
Superfície S: É a paraboloide dada por
. Essa é uma superfície que se abre para baixo e intercepta o eixo z no ponto (0,0,9). -
Campo Vetorial V: É dado por
.
Queremos calcular a integral de superfície
, onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. A fórmula do teorema é:
Onde
é o volume delimitado pela superfície
e, se necessário, por outra superfície fechando
.
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial
:
Então, a divergência de
é constante e igual a 7.
Passo 5
Agora, vamos identificar o volume E que está sendo considerado. A superfície
é a paraboloide
. Para usar o Teorema da Divergência, precisamos fechar essa superfície. Vamos fechar com a base no plano
, formando um sólido fechado.
Passo 6
Vamos calcular a integral de volume da divergência:
Então, precisamos encontrar o volume de
.
Passo 7
Para calcular o volume de
, podemos usar coordenadas cilíndricas, já que a superfície tem simetria circular. Em coordenadas cilíndricas:
O limite para
vai de 0 até
. O raio
varia de 0 até onde
, ou seja,
→
.
Passo 8
A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 9
Integrando em relação a
:
Então, o volume fica:
Passo 10
Integrando em relação a
:
Passo 11
Agora, integrando em relação a
:
Passo 12
Voltando à integral de volume da divergência: