Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Passo 1
Beleza, então temos que verificar se a integral imprópria
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente o estudo de integrais impróprias. Vamos precisar analisar o comportamento da função no infinito e verificar se a integral possui um valor finito.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função que está sendo integrada: . Notamos que o numerador é
e o denominador é
.
Passo 3
Vamos verificar se a função é ímpar ou par. Uma função é ímpar se
. Vamos testar:
Então, a função é ímpar.
Passo 4
Sabemos que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, como de
a
, é zero:
Quando estendemos
ao infinito, isso ainda é válido desde que a integral converja.
Passo 5
Para garantir que a integral converge, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito:
Como a função tende a zero e não há descontinuidades no intervalo, a integral converge.
Resposta
A integral
converge e o seu valor é 0.
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Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral imprópria é convergente ou divergente, justificando sua resposta.
Determine a área A da região do primeiro quadrante limitado pela curva
, o eixo
e o eixo
.