Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.

Passo 1

Beleza, então temos que verificar se a integral imprópria converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente o estudo de integrais impróprias. Vamos precisar analisar o comportamento da função no infinito e verificar se a integral possui um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que está sendo integrada: . Notamos que o numerador é e o denominador é .

Passo 3

Vamos verificar se a função é ímpar ou par. Uma função é ímpar se . Vamos testar:
Então, a função é ímpar.

Passo 4

Sabemos que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, como de a , é zero:
Quando estendemos ao infinito, isso ainda é válido desde que a integral converja.

Passo 5

Para garantir que a integral converge, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito:
Como a função tende a zero e não há descontinuidades no intervalo, a integral converge.

Resposta

A integral converge e o seu valor é 0.

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Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral imprópria é convergente ou divergente, justificando sua resposta.
Determine a área A da região do primeiro quadrante limitado pela curva , o eixo e o eixo .