Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
integral-infty^+infty 2 x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, então temos que verificar se a integral imprópria converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente o estudo de integrais impróprias. Vamos precisar analisar o comportamento da função no infinito e verificar se a integral possui um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que está sendo integrada: . Notamos que o numerador é e o denominador é .

Passo 3

Vamos verificar se a função é ímpar ou par. Uma função é ímpar se f(-x) = 2(-x)((-x)^2+1)^2 = -2x(x^2+1)^2 = -f(x) . Vamos testar:
Então, a função é ímpar.

Passo 4

Sabemos que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, como de integral-A^A f(x) dx = 0 a , é zero:
Quando estendemos ao infinito, isso ainda é válido desde que a integral converja.

Passo 5

Para garantir que a integral converge, analisamos o comportamento da função quando limx to infty 2x(x^2+1)^2 = limx to infty 2xx^4 = limx to infty 2x^3 = 0 tende ao infinito:
Como a função tende a zero e não há descontinuidades no intervalo, a integral converge.

Resposta

A integral converge e o seu valor é 0.

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