Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral imprópria é convergente ou divergente, justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dizer se a integral imprópria abaixo converge ou diverge:
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função quando se aproxima de 0 e quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral ser imprópria. Uma integral é considerada imprópria se o intervalo de integração é infinito ou se a função tem algum ponto de descontinuidade nesse intervalo. No nosso caso, o intervalo vai de 0 a , ou seja, é infinito.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função perto de 0 e perto de .
  • Quando está próximo de 0:
    Se é muito pequeno, também é muito pequeno, então . Assim, a função se aproxima de . Portanto, perto de 0, a função está bem comportada.
  • Quando tende ao infinito:
    Quando é muito grande, os termos de maior grau dominam. Então, e . Assim, a função se aproxima de .

Passo 4

Agora, vamos verificar a convergência da integral comparando com uma integral conhecida. Sabemos que:
Essa integral converge, pois o expoente de no denominador é maior que 1.
Como a nossa função se comporta como quando tende ao infinito, podemos usar o Teste de Comparação para concluir que a nossa integral também converge.

Resposta

A integral imprópria
é convergente.

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