Diga, em cada um dos itens abaixo, se a integral imprópria é convergente ou divergente, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dizer se a integral imprópria abaixo converge ou diverge:
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 0 e quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral ser imprópria. Uma integral é considerada imprópria se o intervalo de integração é infinito ou se a função tem algum ponto de descontinuidade nesse intervalo. No nosso caso, o intervalo vai de 0 a
, ou seja, é infinito.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função
perto de 0 e perto de
.
-
Quando
está próximo de 0: Seé muito pequeno, também é muito pequeno, então . Assim, a função se aproxima de . Portanto, perto de 0, a função está bem comportada. -
Quando
tende ao infinito: Quandoé muito grande, os termos de maior grau dominam. Então, e . Assim, a função se aproxima de .
Passo 4
Agora, vamos verificar a convergência da integral comparando com uma integral conhecida. Sabemos que:
Essa integral converge, pois o expoente de
no denominador é maior que 1.
Como a nossa função
se comporta como
quando
tende ao infinito, podemos usar o Teste de Comparação para concluir que a nossa integral também converge.
Resposta
A integral imprópria
é convergente.
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Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem, justificando a resposta. No caso de convergir calcule o resultado.
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Determine a área A da região do primeiro quadrante limitado pela curva
, o eixo
e o eixo
.
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