Determine a área da região , onde:
b) R é a região limitada pela parábola e pelo eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pela parábola e pelo eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração em relação a , já que nossa função está expressa em termos de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a parábola intersecta o eixo . No eixo , o valor de é zero. Então, vamos igualar a equação da parábola a zero e resolver para :
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática . Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Portanto, as soluções são:
Passo 4
Agora que sabemos que a parábola intersecta o eixo nos pontos e , esses serão os limites de integração para calcular a área. A ideia é integrar a função em relação a de até .
Passo 5
Vamos escrever a integral para a área :
Para resolver essa integral, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 6
Calculando a antiderivada:
Onde é a constante de integração que podemos ignorar na determinação da área.
Passo 7
Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração e :