Determine a área da região
, onde:
b) R é a região limitada pela parábola
e pelo eixo
.
b) R é a região limitada pela parábola
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região
que está limitada pela parábola
e pelo eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração em relação a
, já que nossa função está expressa em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a parábola
intersecta o eixo
. No eixo
, o valor de
é zero. Então, vamos igualar a equação da parábola a zero e resolver para
:
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
. Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Portanto, as soluções são:
Passo 4
Agora que sabemos que a parábola intersecta o eixo
nos pontos
e
, esses serão os limites de integração para calcular a área. A ideia é integrar a função
em relação a
de
até
.
Passo 5
Vamos escrever a integral para a área
:
Para resolver essa integral, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 6
Calculando a antiderivada:
Onde
é a constante de integração que podemos ignorar na determinação da área.
Passo 7
Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração
e
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo o valor em
do valor em
:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas.