Determine a área da região R, onde:
b) R é a região limitada pela parábola x = 2 - y - y^2 e pelo eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pela parábola e pelo eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração em relação a , já que nossa função está expressa em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a parábola intersecta o eixo . No eixo , o valor de é zero. Então, vamos igualar a equação da parábola a zero e resolver para :

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática . Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Portanto, as soluções são:

Passo 4

Agora que sabemos que a parábola intersecta o eixo nos pontos e , esses serão os limites de integração para calcular a área. A ideia é integrar a função em relação a de até .

Passo 5

Vamos escrever a integral para a área :
Para resolver essa integral, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Calculando a antiderivada:
Onde é a constante de integração que podemos ignorar na determinação da área.

Passo 7

Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração e :
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo o valor em do valor em :

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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